Determinante/Spur eines Endom. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Betrachte den Endomorphismus des Raumes M(n,K) der n [mm] \times [/mm] n Matrizen gegeben durch die Linksmultiplikation mit einer Matrix A. Man bestimme die Spur und die Determinante des Endomorphismus. |
Hallo,
die zu dem Endomorphismus zugehörige Matrix ist doch eine x-beliebige n [mm] \times [/mm] n Matirx, oder? (da ja eine Linksmultiplikationen beliebiger Elemente aus dem Raum der n [mm] \times [/mm] n Matrizen mit einer [mm] n\times [/mm] n Matrix immer in M(n,K) selbst abbildet)
Insofern sind doch Spur und Determinante des Endomorphismus die normalen Definitionen eben selbiger, oder?
Gruß,
Rutzel
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> Betrachte den Endomorphismus des Raumes M(n,K) der n [mm]\times[/mm]
> n Matrizen gegeben durch die Linksmultiplikation mit einer
> Matrix A. Man bestimme die Spur und die Determinante des
> Endomorphismus.
> Hallo,
>
> die zu dem Endomorphismus zugehörige Matrix ist doch eine
> x-beliebige n [mm]\times[/mm] n Matirx, oder? (da ja eine
> Linksmultiplikationen beliebiger Elemente aus dem Raum der
> n [mm]\times[/mm] n Matrizen mit einer [mm]n\times[/mm] n Matrix immer in
> M(n,K) selbst abbildet)
Hallo,
welche Dimension haben denn Start- und Zielraum?
Hiernach richten sich ja die "Maße" der darstellenden Matrix.
> Insofern sind doch Spur und Determinante des Endomorphismus
> die normalen Definitionen eben selbiger, oder?
Ich weiß leider nicht, was Du mit "normalen Definitionen" meinst.
Det und Spur eines Endomorphismus sind Det und Spur seiner darstellenden Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
Die Dimension des Start und Zielraumes ist nicht gegeben, aber es ist klar, dass sie gleich sind (da Endomorphismus)
mit "normalen Definitionen" meine ich:
Sei [mm] (a_{ij}) [/mm] die n x n Matrix welche den Endomorphismus darstellt:
Spur:
[mm] Spur((a_{ij}))=\summe_{i=1}^{n}a_{ii}
[/mm]
Determinante (z.B. nach j. Spalte)
[mm] Det((a_{ij}))= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}
[/mm]
Ist diese wirklich die Lösung der Aufgabe (und diese damit wirklich so einfach), oder habe ich sie im Ansatz nicht verstanden?
Gruß,
Rutzel
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> Die Dimension des Start und Zielraumes ist nicht gegeben,
Doch.
Start und Zielraum ist jeweils M(n,K) .
Welche Dimension hat dieser Raum?
Was ist eine Basis dieses Raumes.
Du brauchst doch die darstellende Matrix des Endomorphismus, sonst kannst Du doch nicht seine Spur berechnen.
> mit "normalen Definitionen" meine ich:
Deine "normalen Definitionen" kannst Du natürlich verwenden - Du mußt bloß zuerst überlegen, wie die darstellende Matrix des Endomorphismus aussieht.
> Ist diese wirklich die Lösung der Aufgabe (und diese damit
> wirklich so einfach)
Ja. Aber Du brauchst erst die darstellende Matrix und ich fürchte, die ist anders als Du denkst. (Die Frage nach der Dimension soll Dich darauf stoßen.)
Wir machen das jetzt mal etwas konkreter.
Betrachte den Endomorphismus [mm] \phi: [/mm] M(2, [mm] \IR) \to [/mm] M(2, [mm] \IR)
[/mm]
mit [mm] \phi [/mm] (X)= AX, wobei [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }.
[/mm]
Wie lautet die darstellende Matrix - A ist es nicht(!).
Wenn Du es nicht gleich weißt, sag' mal auf, wie man die darstellenden Matrizen v. linearen Abbildungen findet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
Nun, ich würde sagen:
[mm] Basis={\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1 }}
[/mm]
Die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
3 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 4 }
[/mm]
Zur Aufgabe:
Hier würde ich jetzt sagen:
Basis = [mm] {V_{1,1},...,,V_{i,j}...,V_{n,n}}
[/mm]
Wobei die Matrix [mm] V_{i,j} [/mm] eine 1 an der Stelle (i,j) hat, sonst Nullen.
Ich benötige die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren:
[mm] \forall V_{i,j} [/mm] mit i,j=1...n berechnen:
A [mm] \cdot V_{i,j} [/mm] = Matrix, welche in der i-ten Spalte die j-te Spalte von A stehe hat.
Aber wie schreibe ich das mathematisch auf, sodass ich weiter rechnen kann?
Gruß,
Rutzel
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Hallo,
prima, jetzt hast Du gemerkt, worauf ich hinaus wollte.
> Zur Aufgabe:
>
> Hier würde ich jetzt sagen:
>
> Basis = [mm]{V_{1,1},...,,V_{i,j}...,V_{n,n}}[/mm]
>
> Wobei die Matrix [mm]V_{i,j}[/mm] eine 1 an der Stelle (i,j) hat,
> sonst Nullen.
>
> Ich benötige die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren:
>
> [mm]\forall V_{i,j}[/mm] mit i,j=1...n berechnen:
> A [mm]\cdot V_{i,j}[/mm] = Matrix, welche in der i-ten Spalte die
> j-te Spalte von A stehe hat.
>
>
> Aber wie schreibe ich das mathematisch auf, sodass ich
> weiter rechnen kann?
Du kannst ja die Multiplikation v. Matrizen komponentenweise darstellen.
Ich meine dies:
Sei [mm] A:=(a_r_s),
[/mm]
[mm] V^{(i,j)}:=(v_r_s^{(i,j)}).
[/mm]
Dann ist [mm] A*V^{(i,j)}:=(p_r_t) [/mm] mit [mm] p_r_t:=\summe_{s=1}^{n}a_r_sv_s_t^{(i,j)}.
[/mm]
Für die weitere Überlegung berücksichtigt man natürlich, daß [mm] v_s_t^{(i,j)} [/mm] ziemlich oft =0 ist.
Gruß v. Angela
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