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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 So 11.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Determinante von A:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 4\\ -5 & 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4} [/mm]
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Moin,
ich habe zwei Wege, wie ich die Determinante berechnen könnte. Ich frage mich, warum kommt nicht dasselbe heraus???
1. Weg: nach Laplace
[mm] \pmat{ + \vmat{ 2 & 4 & 3\\ 0 & -2 & 0\\ -3 & 6 & -4}
& - \vmat{ -5 & 4 & 3\\ 0 & -2 & 0 \\ 1& 6 &-4}
& + \vmat{ -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & -3 & -4}
& - \vmat{ -5 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2\\ 1& 3 & -6}
\\ - \vmat{ -1 & 0 & 4\\ 0 & -2 & 0 \\ -3&6 & -4}
& + \vmat{ 0 & 0 & 4\\ 0 & -2 & 0 \\ 1& 6 & -4}
& - \vmat{ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 \\ 1& -3 & -4}
& + \vmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 6}
\\ + \vmat{ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \\ -3& 6 & -4}
& - \vmat{ 0 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 3 \\ 1& 6 & -4}
& + \vmat{ 0 & -1 & 4\\ -5 & 2 & 3 \\ 1& -3& -4}
& - \vmat{ 0 & -1 & 0 \\ -5 & 2 & 4 \\ 1& -3 & 6}
\\ - \vmat{ -1 & 0 &4 \\ 2 & 4 & 3\\0 & -2 & 0}
& + \vmat{ 0 & 0 & 4\\ -5 & 4 & 3\\ 0& -2 & 0}
& - \vmat{ 0 & -1 & 4 \\ -5 & 2 & 3\\ 0& 0 &0}
& + \vmat{ 0 & -1 & 0\\ -5 & 2 & 4\\ 0& 0 & -2}} [/mm]
det(A)= +(-2) -(-34) +0 -34 - (-32) +8 -0 +2 +120 -(-120) +69 -(-34) -(-22) +40 -0 +10 = 455
ist das so richtig? die unterdeterminanten habe ich nach sarrus ausgerechnet.
zum 2. Weg: Matrix auf Dreiecksform bringen:
dabei habe ich eine Zeile vertauscht (1. mit 2.)
ich erhalte:
[mm] \pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 69 }
[/mm]
leider ergibt sich die Dertiminante hier zu
det(A)= -690 und selbst, wenn ich diese Zahl mit (-1) multipliziere
ist das ja ein anderes Eregbnis, als auf dem 1. Weg.
Fragezeichen?
vielen dank für eure hilfe!
gruß
wolfgang
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Hallo,
die Determinante kannst du leicht durch Entwicklung nach der 3. Zeile berechnen, größte Anzahl von Nullen:
[mm] -2*\vmat{ 0 & -1 & 4 \\ -5 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -4 }
[/mm]
=-2*(0-3+60-(-20)-0-8)
=-2*69
=-138
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 11.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Matrix
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 4\\ -5 & 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4}
[/mm]
kann wie folgt umgeformt und auf Dreiecksform gebracht werden.
[mm] \left|\pmat{ 0 & -1 & 0 & 4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4}\right|=-\left|\pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4}\right|
[/mm]
[mm] \br{1}{5} [/mm] * 1. Zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & -\br{13}{5} & \br{34}{5} & -\br{17}{5} }
[/mm]
[mm] -\br{13}{5} [/mm] * 2. zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & 0 & \br{34}{5} & -\br{69}{5} }
[/mm]
[mm] -\br{17}{5} [/mm] * 3. Zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -\br{69}{5} }
[/mm]
Also hat die Dreiecksform folgendes Aussehen
[mm] -\left|\pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\br{69}{5}}\right|
[/mm]
damit ist die Determinante -138
mfg ullim
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