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| Aufgabe | Seien [mm]a_{1}, .., a_{n} [/mm] und [mm]b_{1}, .., b_{n} [/mm] Vektoren in [mm]\IR^n[/mm]. Weiter sei A = ([mm]a_{1}, .., a_{n}[/mm]), B = ([mm]b_{1}, .., b_{n}[/mm]), [mm]B^i = (b_{1}, ..,b_{i-1},a_{1},b_{i+1},..,b_{n})[/mm] und [mm]A_{i} = (b_{i}, a_{2}, .., a_{n})[/mm] Matrizen. Zeigen Sie:
det(A)det(B) =
[mm]\summe_{i=1}^{n} det(A_{i})det(B^i )[/mm] |
Hallo an alle,
ich habe Probleme diese Identität zu beweisen. Als Tip wurde uns gegeben, die Cramersche Regel zu verwenden. Da [mm]b_{1}, .., b_{n} [/mm] linear unabhängig sind, kann man diese m.E. auf das Gleichungssystem [mm]Bx = a_{1}[/mm] anwenden und bekommt dann für ein Element aus x: [mm]x_{i} = det(B^{-1})det(B^i)[/mm], wobei [mm]B^i[/mm] der oben angegebenen Matrix entspricht.
Ab jetzt komme ich nicht weiter. Ich habe es einfach mal in die Summe eingesetzt und dann kann man sich folgendes herleiten:
[mm]\summe_{i=1}^{n} det(A_{i})det(B^i )[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} det(A_{i}) det(B^{-1}) x_{i}[/mm] = [mm]det(B^{-1}) \summe_{i=1}^{n} det(A_{i}) x_{i}[/mm]
und in der Summe bleibt eine Vektormultiplikation, so dass
= [mm]det(B^{-1}) (det(A_{1}, .., det(A_{n}))^T x[/mm]
bleibt. Aber so richtig bringen tut das nichts. Was habe ich übersehen? Ich würde mich über einen Tip freuen.
Danke, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Fr 15.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Steffen,
> Seien [mm]a_{1}, .., a_{n} [/mm] und [mm]b_{1}, .., b_{n} [/mm] Vektoren in
> [mm]\IR^n[/mm]. Weiter sei A = ([mm]a_{1}, .., a_{n}[/mm]), B = ([mm]b_{1}, .., b_{n}[/mm]),
> [mm]B^i = (b_{1}, ..,b_{i-1},a_{1},b_{i+1},..,b_{n})[/mm] und [mm]A_{i} = (b_{i}, a_{2}, .., a_{n})[/mm]
> Matrizen. Zeigen Sie:
>
> det(A)det(B) =
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} det(A_{i})det(B^i )[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> ich habe Probleme diese Identität zu beweisen. Als Tip
> wurde uns gegeben, die Cramersche Regel zu verwenden.
ja, Cramersche Regel ist gut.
> Da
> [mm]b_{1}, .., b_{n} [/mm] linear unabhängig sind, kann man diese
> m.E. auf das Gleichungssystem [mm]Bx = a_{1}[/mm] anwenden und
> bekommt dann für ein Element aus x: [mm]x_{i} = det(B^{-1})det(B^i)[/mm],
> wobei [mm]B^i[/mm] der oben angegebenen Matrix entspricht.
Man kann davon ausgehen, dass [mm] b_1,....,b_n [/mm] linear unabhängig sind, ansonsten wäre det(B)=0.
> [mm] x_{i} [/mm] = [mm] det(B^{-1})det(B^i)
[/mm]
Vielleicht irritiert dich die Schreibweise, aber du machst im nächsten Schritt einen entscheidenden Fehler. Schreibe besser:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] det(B^{-1})*det(B^i)=det(B)^{-1}*det(B^i)=\bruch{det(B^i)}{det(B)}
[/mm]
Daraus folgt nämlich dann: [mm] det(B^i)=x_i*det(B)
[/mm]
> Ab jetzt komme ich nicht weiter. Ich habe es einfach mal in
> die Summe eingesetzt und dann kann man sich folgendes
> herleiten:
>
> [mm] \summe_{i=1}^{n} det(A_{i})det(B^i )\red{=\summe_{i=1}^{n} det(A_{i}) det(B^{-1}) x_{i}=det(B^{-1}) \summe_{i=1}^{n} det(A_{i}) x_{i}}
[/mm]
Falsch!
Es ist [mm] \summe_{i=1}^{n} det(A_{i})det(B^i )=\summe_{i=1}^{n} det(A_{i})*x_i*det(B)=det(B)*\summe_{i=1}^{n} det(A_{i})*x_i
[/mm]
Der vordere Teil sieht doch schon vielversprechend aus! Jetzt musst du nur noch zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} det(A_{i})*x_i=det(A)
[/mm]
1. Tipp:
Schreibe [mm] det(A_{i})=det(b_i,a_2,...,a_n)
[/mm]
2. Tipp:
Nach einer Rechenregel für Determinanten gilt: [mm] det(b_i,a_2,...,a_n)*x_i=det(b_i*x_i,a_2,...,a_n)
[/mm]
3. Tipp:
Es gibt eine Rechenregel für Determinanten, nach der gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} det(b_i*x_i,a_2,...,a_n)=det(\summe_{i=1}^{n}b_i*x_i,a_2,...,a_n)
[/mm]
![[uhh]](/images/smileys/uhh.gif "[uhh]") Das waren zu viele Tipps.
Jetzt ist es nicht mehr weit bis zum Ziel...
Gruß
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 17.04.2011 | | Autor: | steffenhst |
Ich danke dir. Jetzt habe ich es!
Grüße, Steffen
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