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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 22.06.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Bezeichne [mm] M_n(\IZ) [/mm] die n x n - Matrizen mit Einträgen in [mm] \IZ. [/mm] Sei A [mm] \in M_n(\IZ). [/mm] Zeigen Sie:
1. det(A) [mm] \in \IZ,
[/mm]
2. A^-1 [mm] \in M_n(\IZ) \gdw [/mm] det(A) [mm] \in [/mm] {-1,1}. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Leute,
wie kann ich zeigen, dass die det(A) [mm] \in \IZ [/mm] ist wenn ich nur Einträge aus [mm] \IZ [/mm] habe? Hätte vielleicht eine Idee für eine [mm] 3\times3 [/mm] Matrix, kann dies jedoch nicht auf den Allgemeinen Fall für eine n x n Matrix übertragen.
Danke schon mal im Vorraus
Sharik
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Gruß!
Naja, es gibt eine ganze Reihe Definitionen der Determinante, welche soll es denn sein? 
Mit der Leibnizformel kann man die Determinante einer $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix $A$ mit Einträgen [mm] $a_{ij}$ [/mm] folgendermaßen definieren:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\mbox{sgn}(\sigma)} \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$
[/mm]
Man kann auch die Laplace-Entwicklung nehmen. In beiden Fällen erkennt man (direkt oder induktiv), dass die Determinante einfach ein Polynom in ihren Einträgen ist, mit Koeffizienten 1 und -1. Wenn die Einträge also alle ganzzahlig sind, dann ist die Determinante das natürlich auch.
Der zweite Teil der Aufgabe folgt übrigens aus dem ersten, wenn man die Beschreibung des Inversen mit Hilfe der sogenannten Komplementärmatrix zur Verfügung hat... da wird das Inverse einer Matrix beschrieben als die Komplementärmatrix (die im Fall einer Matrix $A$ mit ganzzahligen Einträgen auf jeden Fall wieder ganzzahlige Einträge hat) multipliziert mit dem Kehrwert der Determinanten. Und letzterer ist genau dann ganzzahlig, wenn die Determinante 1 oder -1 ist...
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Do 22.06.2006 | | Autor: | Sharik |
Hey Lars danke für die schnelle Antwort werde mich mal dran versuchen.....
Sharik
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