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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Di 07.02.2006 | | Autor: | Thoron |
Hi
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich hab irgendwie ein Problem beim Berechnen von Determinanten von (n,n) Matrizen
Bis zu (3,3) kann ichs. Und obwohl ich die Formel zur Berechnung von (n,n) hab komme ich nicht klar. (Die Formel mit dem [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ....)
Daher wollt ich mal Fragen ob mir jemand ein explizites Beispiel geben kann (also zum Beispiel ne (4x4) Matrix mit Zahlen) und mir anhand dessen vorführen kann wie ich damit umgehe, da ich nie direkt weiß was ich streichen darf und wie ich bzgl meiner ersten Streichung weiter machen kann.
Ich hab zwar mal ein Beispiel einer 4x4 Matrix gefunden wo gewisse Zeilen und Spalten gestrichen worden sind und hab das auf ne eigene Matrix angewandt. Streiche ich da aber anders kommt schon wieder ne falsche Det raus. Und leider konnte ich anhand des Beispiels nicht festellen durch welche Kriterien gestrichen wurde.
Daher wäre es mir extrem hilfreich wenn vllt sogar 2 verschiende Arten von Streichungen vorgenommen werden um das ganze nachzuvollziehen.
Wäre super nett wenn mir da jemand ein Beispiel liefern könnte. Ich glaub dann würde ich es bestimmt allgemein verstehen.
Thx
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Hallo!
> Bis zu (3,3) kann ichs. Und obwohl ich die Formel zur
> Berechnung von (n,n) hab komme ich nicht klar. (Die Formel
> mit dem [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ....)
Also, bei [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen machst du das hoffentlich anders, oder? Also, mit der "Gartenzaunregel" (Regel von Sarrus  ).
> Daher wollt ich mal Fragen ob mir jemand ein explizites
> Beispiel geben kann (also zum Beispiel ne (4x4) Matrix mit
> Zahlen) und mir anhand dessen vorführen kann wie ich damit
> umgehe, da ich nie direkt weiß was ich streichen darf und
> wie ich bzgl meiner ersten Streichung weiter machen kann.
>
> Ich hab zwar mal ein Beispiel einer 4x4 Matrix gefunden wo
> gewisse Zeilen und Spalten gestrichen worden sind und hab
> das auf ne eigene Matrix angewandt. Streiche ich da aber
> anders kommt schon wieder ne falsche Det raus. Und leider
> konnte ich anhand des Beispiels nicht festellen durch
> welche Kriterien gestrichen wurde.
>
> Daher wäre es mir extrem hilfreich wenn vllt sogar 2
> verschiende Arten von Streichungen vorgenommen werden um
> das ganze nachzuvollziehen.
>
> Wäre super nett wenn mir da jemand ein Beispiel liefern
> könnte. Ich glaub dann würde ich es bestimmt allgemein
> verstehen.
Ehrlich gesagt, ist es mir zu viel Arbeit, so ein ganzes Beispiel hier einzutippen. Aber wenn du mal dein Beispiel eintippst oder deinen eigenen Versuch, dann gucke ich mir das bestimmt an und korrigiere bzw. erkläre, wie es funktioniert.
Jetzt aber gerade noch eine allgemeine Erklärung ohne Beispiel:
(ich nehme an, du meinst den Laplaceschen Entwicklungssatz zum Berechnen)
Prinzipiell sucht man sich eine Zeile oder Spalte aus, in der möglichst viele Nulleinträge sind, da die Summanden für diese Einträge dann komplett =0 sind, man also nichts berechnen muss. Dann fängt man in dieser Zeile (Spalte geht natürlich genauso) mit dem ersten Nicht-Nulleintrag an. Für diesen berechnet man dann zuerst [mm] (-1)^{i+j}*a_{ij} [/mm] (also für das Element [mm] a_{ij}). [/mm] Dann "streichst" du die komplette Zeile i und die komplette Spalte j (egal, ob du nach einer Zeile oder Spalte entwickelst - du musst beides Streichen, da du ja Determinanten nur von quadratischen Matrizen berechnen kannst) und berechnest die Determinante von der Restmatrix. Im Fall einer [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix kannst du die Restdeterminante dann direkt wieder mit der Gartenzaunregel berechnen, im Fall größerer Matrizen musst du da erneut den Laplaceschen Entwicklungssatz oder eine andere Methode anwenden. Wenn du also bei deiner [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix die Determinante der entstandenen [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix direkt hingeschrieben hast, dann machst du das "Streichen" der Zeile und Spalte wieder rückgängig und nimmst dir den nächsten Nicht-Nulleintrag der Zeile, nach der du entwickelst. Hier berechnest du wieder [mm] (-1)^{i+j}*a_{ij} [/mm] und dann streichst du wieder die ganze Zeile i und die ganze Spalte j und berechnest die Determinante der Restmatrix. Wenn du das hast, machst du das "Streichen" wieder rückgänging und fährst mit dem nächsten und dem evtl. letzten Nicht-Nulleintrag deiner Matrix genauso fort.
Vielleicht hilft das ja schon mal - ich weiß ehrlich gesagt nicht, wo da das Problem liegt, ich hatte das irgendwie direkt verstanden (kann aber sein, dass es mir damals jemand vorgerechnet hat ).
Ach ja: ![[]](/images/popup.gif) das Beispiel hier hast du sicher gesehen, oder? Ist zwar nur eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix, funktioniert aber genauso, und eigentlich finde ich, kann man es daran erkennen, wie es funktioniert.
Falls du noch eine andere Methode für die Determinantenberechnung haben möchtest, kannst du dir auch das hier mal anschauen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 07.02.2006 | | Autor: | Thoron |
Erstmal thx, ich glaub das hilft mir schon etwas.
3x3 mach ich mit sarrus, jo.
Ich werd mal mit deinen Tips ne Matrix ausprobieren. Aber da ich leider mit dem Laptop nur in der Uni ins Inet kann und da nur an bestimmten Stellen u nd es hier zu laut ist werd ichs daheim mal in Ruhe probieren. Da kann ich mich dann besser konzentrieren. Also wirds wohl erst morgen von mir wieder ne Antwort geben. Vllt kannst du ja im Laufe des Nachmittages reinschauen (oder jemand anders).
Aber war schonmal sehr hilfreich.
Thx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 07.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
eine Beispielrechnung einer 5x5 Matrix, wo nach der der zweiten Spalte entwickelt wird, findest du HIER sehr schön von Astrid beschrieben...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:35 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Thoron |
thx für die weiteren Links. Ich hab mir gestern das nochmal genau angeschaut (deine links hab ich leider nimmer gesehen) und es bei ner 4x4 matrix probiert. Hat wunderbar geklappt und habs richtig gelöst. Eigentlich wollt ich jetzt noch kurz was zur 5x5 fragen, aber ich glaub das ist jetzt auch klar.
Bei der 5x5 Matrix bekomme ich ja 5 Summanden wobei ich jeweils die Det der übrig gebliebenen 4x4 Matrix da noch nicht bestimmen kann. Also muss ich dann zu allen 5 noch unbekannten Det der 4x4 Matrizen das ganze also nochmal machen für die 5 unterschiedlichen 4x4 Matrizen.
Womit ich dann also 20 Streichungen mehr drinn hab. (plus die 5Streichungen bei der 5x5) Richtig? Aber geht das nicht irgendwie schneller? Da sitzt man ja ewig dran. gibts da keine Tricks?
Eine kleine weitere frage hab ich noch.
Diesmal aber zu Eigenwerten, ich glaub zwar nicht das wir die Eigenwerte einer 4x4 Matrizen ausrechnen müssen da das wohl die Dauer von 2h der Klausur übersteigen würde. Aber trotzdem kurz die Frage.
Die Eigenwerte kann ich ab ner 4x4 Matrix nicht mehr so ausrechnen wie bei ner 3x3 sondern dann nur noch per QR Algorythmus bzw QZ Algorithmus, richtig?
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Hallo!
> Bei der 5x5 Matrix bekomme ich ja 5 Summanden wobei ich
> jeweils die Det der übrig gebliebenen 4x4 Matrix da noch
> nicht bestimmen kann. Also muss ich dann zu allen 5 noch
> unbekannten Det der 4x4 Matrizen das ganze also nochmal
> machen für die 5 unterschiedlichen 4x4 Matrizen.
>
> Womit ich dann also 20 Streichungen mehr drinn hab. (plus
> die 5Streichungen bei der 5x5) Richtig? Aber geht das nicht
> irgendwie schneller? Da sitzt man ja ewig dran. gibts da
> keine Tricks?
Also, ich hab' da jetzt nicht nachgezählt, wie viele Streichungen das sind, aber das Prinzip ist richtig. Der Trick dabei ist, wie ich auch schon erwähnt hatte, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, in der möglichst viele Nullen stehen, da dort ja dann der ganze Summand wegfällt. Ansonsten werden halt größere Matrizen nicht mehr mit Hand berechnet. In Klausuren kommen glaub ich auch höchstens [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrizen dran, da geht das dann noch. Und wahrscheinlich gibt es dann noch eine Zeile mit vielen Nullen oder so, also mach dir deswegen keine Sorgen.
> Eine kleine weitere frage hab ich noch.
>
> Diesmal aber zu Eigenwerten, ich glaub zwar nicht das wir
> die Eigenwerte einer 4x4 Matrizen ausrechnen müssen da das
> wohl die Dauer von 2h der Klausur übersteigen würde. Aber
> trotzdem kurz die Frage.
Eine komplett andere Frage gehört aber nicht hier her!
> Die Eigenwerte kann ich ab ner 4x4 Matrix nicht mehr so
> ausrechnen wie bei ner 3x3 sondern dann nur noch per QR
> Algorythmus bzw QZ Algorithmus, richtig?
Also, die Eigenwerte sind doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, und das charakteristische Polynom einer Matrix A ist doch [mm] $det(\lambda [/mm] I-A)$ - ich wüsste nicht, wieso das nicht mehr funktionieren sollte. Aber hier habe ich ehrlich gesagt keine Erfahrung mit gemacht - ich weiß nicht, ob ich jemals die Eigenwerte einer so großen Matrix berechnet habe.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Do 09.02.2006 | | Autor: | Thoron |
k.
Danke nochmal.
Dann denk ich mal das es nicht so was großes drann kommen wird. Hoffentlich läuft das gut, bin mir irgendwie net so sicher mit der Klausur. Alles was mit Matrizen zu tun hat kann ich, aber ich hab keine Ahnung was sonst noch drann kommen kann. Ist bissel komisch der Stoff im Moment.
Also thx nochmal
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