Det Matrix = Produkt EW < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 02.05.2016 | | Autor: | sanadros |
| Aufgabe | | Seien [mm] \lambda_{1} [/mm] ... [mm] \lambda_{n} \in \IC [/mm] die Eigenwerte von A [mm] \in \IC^{n\times n}. [/mm] Zeigen sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra, dass dann det (A) = [mm] \produkt_{j=1}^{n}\lambda_{j} [/mm] gilt |
Ok ich komme so weit dass det (A - [mm] \lambda [/mm] I) = [mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n}(a_{nn} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] weil ich mit Gaussschritten eine Dreiecks bzw eine Diagonale Matrix bilden kann.
Jetzt darf man aber das [mm] a_{nn} [/mm] duchr [mm] \lambda_{j} [/mm] ersetzen aber warum darf ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\lambda_{1}[/mm] ... [mm]\lambda_{n} \in \IC[/mm] die Eigenwerte
> von A [mm]\in \IC^{n\times n}.[/mm] Zeigen sie mit Hilfe des
> Fundamentalsatzes der Algebra, dass dann det (A) =
> [mm]\produkt_{j=1}^{n}\lambda_{j}[/mm] gilt
> Ok ich komme so weit dass det (A - [mm]\lambda[/mm] I) = [mm]p(\lambda)[/mm]
> = [mm]\produkt_{j=1}^{n}(a_{nn}[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] weil ich mit
> Gaussschritten eine Dreiecks bzw eine Diagonale Matrix
> bilden kann.
>
> Jetzt darf man aber das [mm]a_{nn}[/mm] duchr [mm]\lambda_{j}[/mm] ersetzen
> aber warum darf ich das?
Es geht doch einfacher. Sei p das char. Polynom von A, also
[mm] $p(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] E)$
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es [mm] \lambda_1,...,\lambda_n \in \IC [/mm] mit
(*) [mm] p(\lambda)=\produkt_{j=1}^{n}(\lambda_j- \lambda).
[/mm]
Die Nullstellen [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] von p sind gerade die Eigenwerte von A.
Mit [mm] \lambda=0 [/mm] in (*) bekommt man
[mm] $det(A)=p(0)=\produkt_{j=1}^{n} \lambda_j$
[/mm]
FRED
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