Der Witz mit der Stetigkeit... < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Di 08.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Es sei [mm] f : \IR^{2} \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion, und ferner [mm] y : \IR \rightarrow \IR [/mm]. [mm] y [/mm] soll die Differentialgleichung [mm] y' = f(x,y) [/mm] lösen. Genauer heißt das: [mm] y'(x) = f(x,y(x)) \forall x [/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] y' [/mm] eine stetige Funktion ist! |
Aloha hé,
ich hab den heutigen Nachmittag mit dem Grübeln über diese Aufgabe zugebracht. Mich beschleicht das Gefühl, dass ich entweder einen kolossalen Denkfehler mache, oder vor dem sprichtwörtlichen offenen Scheunentor stehe.
Zeigen soll ich gerade, dass [mm] y' [/mm] stetig ist. Wenn ich mir anschaue wie [mm] y' [/mm] definiert ist, komme ich auf [mm] y'(x) = f(x,y(x)) [/mm].
[mm] f [/mm] ist ja nach Aufgabenstellung bereits stetig. [mm] y(x) [/mm] ist ebenfalls stetig, da die Funktion ja als differenzierbar gegeben ist.
Was liegt also vor?
Im Grunde genommen eine Komposition zweier Funktionen von [mm] x [/mm]: Da sowohl [mm] f [/mm] als auch [mm] y(x) [/mm] stetig sind, ist auch die Komposition stetig.
Nun sitze ich hier und frage mich: War das alles? Dem Schmunzeln meines Tutors entnehme ich die Annahme: "Nein!".
Die Preisfrage scheint mir darin zu liegen, was die Funktion [mm] f [/mm] überhaupt mit den übergebenen Werten anstellt. Andererseits garantiert die Stetigkeit von [mm] y(x) [/mm], dass diese Werte sich nicht "bösartig" verhalten.
Bin etwas ratlos, da mir nicht klar ist, was ich nun überhaupt noch nachweisen muss, um fertig zu sein.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich und der Aufgabe noch eine weitere Grübelstunde vor dem Zubettgehen genehmigt.
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Hi,
aus meiner sicht steckt bei der aufgabe nicht mehr dahinter: y ist diffbar, also stetig. Die verknuepfung von stetigen fkten. ist wieder stetig, fertig.
Sollte ein haken bei der aufgabe sein, dann ist sie schlecht formuliert...
VG
Matthias
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Also mit der Komposition ist das hier so eine Sache, würde ich meinen. y lebt auf [mm] \IR, [/mm] y' ist damit eine Abbildung zwischen den beiden Tangentialräumen also
y': [mm]T \IR \mapsto T \IR[/mm]
allerdings ist ohnehin
[mm]T \IR = \IR[/mm]
f hingegen ist eine Abbildung auf dem [mm] \IR^2.
[/mm]
Vielleicht solltest du doch lieber Grenzwerte an beliebiges [mm] x_0 [/mm] betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:24 Di 08.05.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Also mit der Komposition ist das hier so eine Sache, würde
> ich meinen. y lebt auf [mm]\IR,[/mm] y' ist damit eine Abbildung
> zwischen den beiden Tangentialräumen also
> y': [mm]T \IR \mapsto T \IR[/mm]
> allerdings ist ohnehin
> [mm]T \IR = \IR[/mm]
> f hingegen ist eine Abbildung auf dem [mm]\IR^2.[/mm]
die Komposition von stetigen abbildung zwischen beliebigen topologischen raeumen ist immer stetig, also
[mm] $f:X\to [/mm] Y$ stetig und [mm] $g:Y\to [/mm] Z$ stetig,
dann ist auch
$g [mm] \circ f:X\to [/mm] Z$ stetig. Ob [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] spielt also keine rolle.
VG
Matthias
>
> Vielleicht solltest du doch lieber Grenzwerte an beliebiges
> [mm]x_0[/mm] betrachten.
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Yo - elementare Topologie.
Meine Frage ging auch eher dahin, ob es sich wirklich um eine Komposition handeln kann, denn hier ist ja [mm]y: \IR \mapsto \IR[/mm], [mm]f: \IR^2 \mapsto \IR[/mm] - und damit der Wertebereich der einen Funktion != dem Definitionsbereich der anderen. Du müsstest also irgendeine andere Konstruktion finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Do 10.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
ich danke euch erstmal für eure Meinungen dazu. Das erleichtert mir die Sache insoweit, als dass ich mir weniger beschränkt vorkommen (wenn ich nun noch monoton wäre... äre ich ja stetig...).
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal in's Bett huscht.
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