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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 07.12.2004 | | Autor: | JimSim |
Hallo Leute!
Habe mal wieder Aufgaben auf wo ich nicht so richtig durchblicke.
Die erste lautet wie folgt:
Gegeben ist die Funktion F: R [mm] \to [/mm] R, x
[mm] \mapsto \integral_{0}^{x} \bruch{dt}{1+t^2}
[/mm]
(a).Skizzieren sie den Graphen der Integrandfunktin und erläutere anhand der Skizze die geometrische Bedeutung von F(x) für x > 0
(b).Begründe, dass F in R differenzierbar ist.
Bei dieser Aufgabe denke ich muss man zunächst Ableiten.
Aber wie leite ich diesen Term ab und was ist mit dem Teil b der Aufgabe gemeint?
Nun zur zweiten Aufgabe:
(a) Warum existiert für jedes x > 0 das [mm] \integral_{1}^{x} \bruch{1}{t}
[/mm]
dt ?
(b)Gegeben ist L: |0, [mm] \infty [/mm] | [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto \integral_{1}^{x} [/mm]
[mm] \bruch{1}{t} [/mm] dt
Untersuch das Monotonie- und Krümmungsverhalten L
So wie komm ich jetzt auf L auch durch Ableiten und funktioniert das genau mit dem Ableiten.
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
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Hallo JimSim!
> Die erste lautet wie folgt:
> Gegeben ist die Funktion F: R [mm]\to[/mm] R, x
> [mm]\mapsto \integral_{0}^{x} \bruch{dt}{1+t^2}
[/mm]
>
>
> (a).Skizzieren sie den Graphen der Integrandfunktin und
> erläutere anhand der Skizze die geometrische Bedeutung von
> F(x) für x > 0
Also, der Integrand ist hier [mm] \bruch{1}{1+t^2}, [/mm] diese Funktion sollst du zeichnen, das Integral, also F(x) gibt in der Regel die Fläche unter dem Graphen an. Das kann man manchmal nach dem Zeichnen mit dem errechneten Ergebnist vergleichen, wenn man keine zu komplizierten Funktionen hat...
> (b).Begründe, dass F in R differenzierbar ist.
>
> Bei dieser Aufgabe denke ich muss man zunächst Ableiten.
> Aber wie leite ich diesen Term ab und was ist mit dem Teil
> b der Aufgabe gemeint?
Nein, ableiten muss man hier nicht. Das Integral ist ja genau das "Gegenteil" der Ableitung. Funktionen bezeichnet man in der Regel mit Kleinbuchstaben, meistens mit f, Stammfunktionen mit Großbuchstaben, also F. Nun sind aber Integral und Stammfunktion fast das Gleiche (die guten Mathematiker werden mich vielleicht dafür schlagen, denn eigentlich sollte ich es mathematisch besser formulieren können) - jedenfalls habe ich mir in der Schule immer gemerkt: Um ein Integral zu berechnen, berechne ich einfach die Stammfunktion und setze danach die Grenzen des Integrals einfach ein. Das heißt, wenn du sagen sollst, dass F differenzierbar ist (F ist ja die Stammfunktion, also quasi das, was beim Berechnen des Integrals und danach Einsetzen der Grenzen rauskommt), dann heißt das nicht viel anderes, als dass das Integral überhaupt existiert. Denn nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: F'(x)=f (also: die Stammfunktion lässt sich ableiten und du erhälst f).
Wie man das nun begründet, weiß ich allerdings nicht (und ich hoffe, ich habe hier auch jetzt nichts Falsches erzählt...).
> Nun zur zweiten Aufgabe:
> (a) Warum existiert für jedes x > 0 das
> [mm]\integral_{1}^{x} \bruch{1}{t}
[/mm]
> dt ?
Ich denke, wenn du obige Aufgabe hast, geht das hier genauso.
> (b)Gegeben ist L: |0, [mm]\infty[/mm] | [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto \integral_{1}^{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{t}[/mm] dt
> Untersuch das Monotonie- und Krümmungsverhalten L
>
> So wie komm ich jetzt auf L auch durch Ableiten und
> funktioniert das genau mit dem Ableiten.
Nein, auch hier musst du nicht ableiten! Du sollst das Integral berechnen, sofern ich das richtig verstehe... Habt ihr das nicht gemacht? Oder verwirren dich nur die Formulierungen? Also wie gesagt, um das Integral zu berechnen, berechnest du einfach die Stammfunktion und setzt dann die Grenzen ein. Für so eine einfach Funktion findest du die Stammfunktion auch noch in einer Formelsammlung, aber wenn ihr Stammfunktionen gemacht habt, dürfte das auch keine großes Problem für dich sein, es ist genau anders herum wie beim Ableiten.
Ich hoffe, das hilft dir schon mal ein bisschen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ich werd dann mal was zur Aufgabe 2 schreiben.
Bei diesem Integral [mm]\integral_{1}^{x} \bruch{1}{t}dt[/mm] sollte es eigentlich reichen, wenn man es ausrechnet.
Wie Bastiane sagte: die Stammfunktion findest du in jeder Formelsammlung.
Es gilt: [mm]\integral \bruch{1}{t}dt = ln|t| +c[/mm].
Erstens kann man die Betragsstriche hier weglassen, da sowieso [mm]x>0[/mm] gefordert ist, und zweitens werde ich die Integrationskonstante [mm]+c[/mm] im Folgenden auch weglassen.
Also ergibt sich: [mm]\integral_{1}^{x} \bruch{1}{t}dt = [ln(t)]_1^x = ln(x) - ln(1) = ln(x)[/mm]
Und für alle [mm]x>0[/mm] ist die ln-Funktion definiert & stetig. Sollte reichen, als Antwort für 2a.
So, die Funktion kannst du ja jetzt direkt angeben:
[mm]L(x) = \integral_{1}^{x} \bruch{1}{t}dt = ln(x)[/mm] für [mm]x>0[/mm].
Das Monotonieverhalten (in welchen Intervallen steigt die Kurve, in welchen fällt sie?) erhält man aus der ersten Ableitung ([mm]f'(x)<0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Kurve fällt, [mm]f'(x)>0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Kurve steigt).
Das Krümmungsverhalten ist eine Eigenschaft, die von der zweiten Ableitung geliefert wird: [mm]f''(x)<0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Rechtskrümmung, [mm]f''(x)>0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] Linkskrümmung.
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