Der Banachsche Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich verstehe nicht, wann man die "a posteriori"-Abschätzung verwendet. Man scheint diese doch gar nicht zu brauchen, wenn man berechnet, nach wie vielen Iterationsschritten eine gewünschte Genauigkeit für den berechneten Fixpunkt erreicht wurde? Man verwendet dann doch immer die "a priori"-Abschätzung?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Könntest Du noch dazu schreiben wie diese Abschätzungen aussehen?
gruß
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> Hallo Karl,
> Könntest Du noch dazu schreiben wie diese Abschätzungen
> aussehen?
Am besten ich stelle die Version des BFS aus dem Skript hier rein:
Der Banachsche Fixpunktsatz:
Definition: Eine Abbildung [mm]\Phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] heißt Kontraktion, wenn eine Kontraktionskonstante [mm]k\in\left[0,1\right)[/mm] existiert, so daß [mm]\left|\Phi(x)-\Phi(y)\right|\leqslant k\left|x-y\right|\;\forall x,y\in A[/mm] gilt.
Bildpunkte liegen dichter zusammen als die Urbilder ("Kontraktion").
Bemerkung: Kontraktionen sind automatisch (Lipschitz-)stetig.
Satz (Banachscher Fixpunktsatz ("BFS"), skalare Version): Sei [mm]\Phi:A\to A[/mm] Kontraktion auf abgeschlossenem [mm]A\subset\mathbb{R}[/mm] mit einer Kontraktionskonstanten [mm]k<1\![/mm]. Dann
a) existiert ein eindeutiger Fixpunkt [mm]x^{\*} = \Phi\left(x^{\*}\right)\in A,[/mm]
b) konvergiert jede Folge [mm]x_{i+1} = \Phi\left(x_i\right)[/mm] mit beliebigem Startwert [mm]x_0\in A[/mm] gegen [mm]x^{\*}[/mm],
c) gelten für jede solche Folge die Abschätzungen
[mm]\left|x_i-x^{\*}\right|\leqslant\underbrace{\frac{k}{1-k}\left|x_i-x_{i-1}\right|}_{\texttt{a posteriori}}\leqslant\underbrace{\frac{k^i}{1-k}\left|x_1-x_0\right|}_{\texttt{a priori}}[/mm].
Ich habe bis jetzt immer nur die "a priori"-Abschätzung verwendet. Wenn Du willst, stelle ich hier noch ein Beispiel rein.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 20.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen
a priori abschaetzungen benutzt du um (allgemeine) vorhersagen ueber iterationsverfahren zu machen. z.b. um irgendwelche konvergenzverhalten zu bestimmen oder um schoene dinge zu beweisen.
wenn du mal irgendwann so ein iterationsverfahren implementierst interessiert dich nach jedem iterationsschritt wie weit du vom fixpunkt noch entfernt bist, damit du eine sinnvolle abbruchbedingung forumulieren kannst.
wenn du z.b. einen wert auf 3 dezimalztellen genau berechnen willst interessiert dich weniger dass du (a priori) nach [mm] 10^6 [/mm] schritten sicher da sein wirst als eher dass du nach dem 10. schritt sagen kannst dass du schon da bist.
hoffe das ist einigermassen richtig/verstaendlich :)
gruss
--felix
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