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| Aufgabe | Bezeichne [mm] \delta(x) [/mm] die Dirac-Distribution. Man zeige die folgenden Rechenregeln:
(1) [mm] \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)
[/mm]
(2) [mm] \delta(g(x))=\sum_{g(x_{i})=0}\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})}. [/mm] |
Hallo,
ich habe einige Schwierigkeiten. Ich zeige bei (1): [mm] \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(ax)dx=\frac{1}{|a|}f(0). [/mm] Dafür habe ich eine Substitution gemacht: y=ax.
Ich komme zu: [mm] \frac{1}{a}\int_{-\infty\mbox{sign(a)}}^{\mbox{sign(a)}\infty}f(\frac{y}{a})\delta(y)dy. [/mm] Im Prinzip bin ich damit so gut wie fertig. Mich irritiert nur der Betrag. Wieso ist der da? Ich habs mir so begründet: Angenommen a ist negativ. Dann vertausche ich die Integrationsgrenzen und handele mir dafür ein - ein. Dann erhalte ich ja vor dem Integral ein [mm] -\frac{1}{a}. [/mm] Da a selbst negativ ist, ist das in dem Fall das gleiche wie 1/|a|. Für a>0 ist alles klar. Kann man es noch etwas schöner machen, oder ist das ausreichend.
Bei (2) muss ich zeigen: [mm] \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx=\sum_{i=0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}dx.
[/mm]
Ich hatte gedacht analog zu dem Verfahren aus (1) vorzugehen, also einfach eine langweilige Substitution zu machen. Es hat sich herausgestellt, dass ich dabei Durcheinander gekommen bin. Ich setzte y=g(x), wobei das nur eine Gedankenhilfe war, und ich y nie verwende. Dann erhalte ich [mm] \int_{g(x\rightarrow-\infty)}^{g(x\rightarrow\infty)}f(x)\delta(g(x))\frac{dg}{dx}dx. [/mm] Es ist klar, dass [mm] \delta [/mm] immer nur dann nicht 0 ist, wenn g(x)=0 ist. Damit könnte man ja das Integral entsprechend der Nullstellen von g aufspalten und als Summe schreiben. Irgendwie habe ich dann aber eben noch dieses [mm] \frac{dg}{dx} [/mm] da drin und nirgendswo den Betrag der Ableitung im Nenner.
Dann habe ich mir gedacht (wobei mir das mathematisch falsch erscheint) einfach den ursprünglichen Ausdruck mit [mm] \frac{dg}{dx} [/mm] zu erweitern, also zu schreiben [mm] \frac{1}{g'(x)}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))\mbox{\ensuremath{\frac{dg}{dx}}}dx. [/mm] Das geht natürlich nur (wenn überhaupt?), wenn alle Nullstellen einfach sind, aber das muss glaube ich auch für die Formel gelten. Aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.
Wie kann man es machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo T_Sleeper
> Bezeichne [mm]\delta(x)[/mm] die Dirac-Distribution. Man zeige die
> folgenden Rechenregeln:
>
> (1) [mm]\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)[/mm]
>
> (2)
> [mm]\delta(g(x))=\sum_{g(x_{i})=0}\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe einige Schwierigkeiten. Ich zeige bei (1):
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(ax)dx=\frac{1}{|a|}f(0).[/mm]
deine Funktion f(x) brauchst du doch gar nicht, denn ich gehe davon aus, dass folgende Definitionen für den Dirac-Impuls schon gelten:
(1) [mm] \integral^{\infty}_{-\infty}{\delta(t)*\varphi(t)\ dt}=\varphi(0)
[/mm]
(2) [mm] \delta(t)=0\quad t\not=0
[/mm]
(3) [mm] \integral^{\infty}_{-\infty}{\delta(t)\ dt}=1
[/mm]
daher erhält man aus (1), (2) und (3):
[mm] $\integral^{\infty}_{-\infty}{\delta(at)\ dt}\ \underbrace{=}_{\tau=at}\ \integral^{\infty}_{-\infty}{\frac1{|a|}\delta(\tau)\ d\tau}\ [/mm] =\ [mm] \frac1{|a|}*\integral^{\infty}_{-\infty}{\delta(\tau)\ d\tau}\ [/mm] =\ [mm] \frac1{|a|}$
[/mm]
> Im Prinzip bin ich damit so gut wie fertig. Mich irritiert
> nur der Betrag. Wieso ist der da? Ich habs mir so
> begründet: Angenommen a ist negativ. Dann vertausche ich
> die Integrationsgrenzen und handele mir dafür ein - ein.
> Dann erhalte ich ja vor dem Integral ein [mm]-\frac{1}{a}.[/mm] Da a
> selbst negativ ist, ist das in dem Fall das gleiche wie
> 1/|a|. Für a>0 ist alles klar. Kann man es noch etwas
> schöner machen, oder ist das ausreichend.
ja, das ist ausreichend.
LG
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bezeichne [mm]\delta(x)[/mm] die Dirac-Distribution. Man zeige die
> folgenden Rechenregeln:
>
> (1) [mm]\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)[/mm]
>
> (2)
> [mm]\delta(g(x))=\sum_{g(x_{i})=0}\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe einige Schwierigkeiten. Ich zeige bei (1):
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(ax)dx=\frac{1}{|a|}f(0).[/mm]
> Dafür habe ich eine Substitution gemacht: y=ax.
>
> Ich komme zu:
> [mm]\frac{1}{a}\int_{-\infty\mbox{sign(a)}}^{\mbox{sign(a)}\infty}f(\frac{y}{a})\delta(y)dy.[/mm]
> Im Prinzip bin ich damit so gut wie fertig. Mich irritiert
> nur der Betrag. Wieso ist der da? Ich habs mir so
> begründet: Angenommen a ist negativ. Dann vertausche ich
> die Integrationsgrenzen und handele mir dafür ein - ein.
> Dann erhalte ich ja vor dem Integral ein [mm]-\frac{1}{a}.[/mm] Da a
> selbst negativ ist, ist das in dem Fall das gleiche wie
> 1/|a|. Für a>0 ist alles klar. Kann man es noch etwas
> schöner machen, oder ist das ausreichend.
>
> Bei (2) muss ich zeigen:
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx=\sum_{i=0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}dx.[/mm]
>
> Ich hatte gedacht analog zu dem Verfahren aus (1)
> vorzugehen, also einfach eine langweilige Substitution zu
> machen. Es hat sich herausgestellt, dass ich dabei
> Durcheinander gekommen bin. Ich setzte y=g(x), wobei das
> nur eine Gedankenhilfe war, und ich y nie verwende. Dann
> erhalte ich
> [mm]\int_{g(x\rightarrow-\infty)}^{g(x\rightarrow\infty)}f(x)\delta(g(x))\frac{dg}{dx}dx.[/mm]
Das ist falsch, da hast du gar nicht substituiert. Korrekt wäre (strenge Monotonität von g vorausgesetzt):
[mm] \integral_{g^{-1}(-\infty)}^{g^{-1}(+\infty)} f(g^{-1}(y)) \delta(y) \bruch{1}{g'(g^{-1}(y)} dy [/mm] .
> Es ist klar, dass [mm]\delta[/mm] immer nur dann nicht 0 ist, wenn
> g(x)=0 ist.
[mm] $\delta$ [/mm] is keine Funktion, daher ist diese Aussage so nicht richtig. Eigentlich sind auch die Grenzen des Integrals ohne Bedeutung, da es kein Integral sondern eine symbolische Schreibweise ist. (Ein Integral ist es nur für reguläre Distributionen.)
> Damit könnte man ja das Integral entsprechend
> der Nullstellen von g aufspalten und als Summe schreiben.
Genau. Das ist nötig, da $g'(x)$ Nullstellen hat, sobald g(x) mehr als eine Nullstelle hat. Du musst also dein Integral in genausoviel Teile zerlegen, wie g Nullstellen hat, am besten mit geeigneten Rechteckfunktionen.
Beginne doch mit dem einfachsten Fall: g sei streng monoton steigend und habe eine Nullstelle [mm] $x_0$. [/mm] Dann ist $g'$ überall $>0$, außerdem [mm] $g^{-1}(0) [/mm] = [mm] y_0$ [/mm] und du kannst die obige Substitution durchführen:
[mm] \integral f(g^{-1}(y)) \delta(y) \bruch{1}{g'(g^{-1}(y)} dy = \bruch{f(g^{-1}(0))}{g'( g^{-1}(0))} [/mm] .
Der Fall $g'<0$ geht analog und führt damit zu dem Betrag im Nenner.
Nun verallgemeinerst du auf den Fall mehrerer Nullstellen (Tipp: Zerlegung der Eins).
Viele Grüße
Rainer
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