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Definitionslücken bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mi 29.08.2007
Autor: fapsons

Aufgabe
a)
Bestimmen Sie alle Definitionslücken der Funktion
f(x) = [mm] (\bruch{x^{2}+2x+4)x}{x(x-3)^{2}(x+1)}). [/mm]
b)
Geben Sie zu jeder der in a) bestimmten Definitionslücken an, ob es sich um eine hebbare Definitionslücke, eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel oder eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel handelt!
c)
Wie viel Nullstellen besitzt die Funktion f? Begründen Sie Ihr Ergebnis!

Hallo Leute,

Es handelt sich bei meinem Post um eine Klausuraufgabe.
Habe sie leider nicht lösen können.
Habe bei dir a) angefangen die Funktion zu [mm] \bruch{x^{3}+2x^{2}+4x}{x^{3}-5x^{3}+3x^{2}+9x} [/mm] umzuformen.
Habe mir dann gedacht, dass es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel handeln muss.
Hat mir mein Prof allerdings angestrichen.

Habe leider keine Ahnung, wie ich vorgehen soll. Mathe ist einfach nicht mein Ding...;)

Wäre super, wenn ihr mir helfen könnten.

Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Definitionslücken bestimmen: Zähler und Nenner betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 29.08.2007
Autor: Loddar

Hallo fapsons!


Definitionslücken sind alle Nullstellen des Nenners. Von daher ist es alles andere als clever, diesen auszumultiplizieren.

Anschließend solltest Du die Nullstellen des Zählers berechnen.


Mit diesen Ergebnissen werden dann Zähler und Nenner faktorisiert dargestellt und anschließend weitestgehend gekürzt.


Die verbleibende Ersatzfunktion lässt sich dann mit Sicherheit viel leichter weiter behandeln ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Definitionslücken bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mi 29.08.2007
Autor: fapsons

Okay, das klingt logisch. Die Definitionslücken müssten also sein: 0, 3 und -1, oder?

Ist es denn eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel?
Bezug
                        
Bezug
Definitionslücken bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mi 29.08.2007
Autor: Analytiker

Hi Oli,

> Okay, das klingt logisch. Die Definitionslücken müssten also sein: 0, 3 und -1, oder?

[ok] -> Genau so ist es! Allerdings hast du dich oben [b]vertippt[7b], die Funktion im Nenner heißt:

f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 5x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] + 9x  und nicht  f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 5x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] + 9x

Aber trotzdem richtig gerechnet.

> Ist es denn eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel?

Du kannst nun deine ermittelten Definitionslücken auf ihre Art prüfen. Das geht so:

1.) N(x) = 0

2.) Z(Def.Lücke) [mm] \not= [/mm] 0  ->  Polstelle
    Z(Def.Lücke) = 0  ->  Hebbare Lücke


wobei N(x) für Nennerfunktion und Z(x) für Zählerfunktion steht. Somit kannst du jetzt ja selbst überprüfen, welche Definitionslücke ein Pol ist... ;-)!

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]
Bezug
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