Definitionslücke !! < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mo 05.09.2005 | | Autor: | steph |
Hallo an alle Mathe-Genies  ,
und zwar ich habe in meinem Mathebuch einen Satz bei der Stetigkeit, der lautet so:
"FUnktionen, die an einer Stelle eine Defintionslücke besitzen, dort aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen, sind stetig ergänzbar (oder: Die FUnktion besitzt dort eine stetig hebbare Defintionslücke). Die stetige Ergänzung erfolgt durch Hinzunahme des FUnktionswertes."
Irgendwie kapier ich den Abschnitt nicht ganz und zwar, wenn ich angenommen überprüfe ob die FUnktionen stetig sind und ich komme zu dem Ergebnis, das die Funktionen nicht definiert sind, ABER einen eindeutigen Grenzwert besitzen. SInd sie dann trotzdem stetig ergänzbar, oder nicht ??? Bzw. besitzt sie dort dann eine stetig hebbare Definitionslücke ???
Dann zweitens, wenn ich überprüfen will ob eine Funktion definiert ist, um die Stetigkeit zu überprüfen und es ist sie nicht, ist das Ergebnis dann die Definitionslücke ???
Und drittens, diese Aufgabe
[mm] x^3+x^2-12x
[/mm]
---------------------------
[mm] x^2-3x
[/mm]
es heißt: bestimmen Sie die Defintionsbereiche und prüfen sie, ob für die nicht definierten Stellen Grenzwerte existieren.
der Definitionsbereich ist doch hier [mm] D=R\{3} [/mm] oder ?? und wenn ich nun prüfen soll, ob es für die nicht definierten stellen grenzwerte existieren, dann muss ich doch nur
[mm] \limes_{n\rightarrow\3}
[/mm]
Oder ??
Besten Dank für EUre Mühen !!!
gruss
steph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
> "FUnktionen, die an einer Stelle eine Defintionslücke
> besitzen, dort aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen,
> sind stetig ergänzbar (oder: Die FUnktion besitzt dort eine
> stetig hebbare Defintionslücke). Die stetige Ergänzung
> erfolgt durch Hinzunahme des FUnktionswertes."
>
> Irgendwie kapier ich den Abschnitt nicht ganz und zwar,
> wenn ich angenommen überprüfe ob die FUnktionen stetig sind
> und ich komme zu dem Ergebnis, das die Funktionen nicht
> definiert sind, ABER einen eindeutigen Grenzwert besitzen.
> SInd sie dann trotzdem stetig ergänzbar, oder nicht ???
> Bzw. besitzt sie dort dann eine stetig hebbare
> Definitionslücke ???
Wie gehen wir allgemein vor?
Zunächst ermitteln wir uns den  Definitionsbereich. Dies geschieht bei diesem Typ Funktionen (gebrochen-rationale Funktionen), indem wir die Nullstellen der Nenners ermitteln!
Nehem wir Dein u.g. Beispiel. Zur Bestimmung der Definitionslücken, rechnen wir:
[mm] $x^2-3x [/mm] \ = \ 0$
Hieraus erhalten wir $x \ = \ 0$ oder $x \ = \ 3$.
Der Definitionsbereich lautet also: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{0; 3\}$
[/mm]
(Du hattest also die Null "vergessen" ...).
Nun untersuchen wir, ob diese beiden Definitionslücken auch Nullstelle des Zählers sind:
[mm] $0^3 +0^2 [/mm] -12*0 \ = \ 0$
[mm] $3^3 +3^2 [/mm] -12*3 \ = \ 0$
Bei beiden Definitionslücken scheint es sich also um behebbare Definitionslücken zu handeln, da an diesen Stellen sowohl in Nenner als auch im Zähler Nullstellen vorliegen.
Wäre der Zähler an diesen Stellen ungleich Null, hätten wir an den Definitionslücken sogenannte Polstellen vorliegen.
Faktorisieren wir jeweils in Nenner und Zähler und kürzen weitestgehend (siehe auch meine andere Antwort)...
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^3+x^2-12x}{x^2-3x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x*\left(x^2+x-12\right)}{x*(x-3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{x}*\blue{(x-3)}*(x+4)}{\red{x}*\blue{(x-3)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+4}{1} [/mm] \ = \ x+4$
Nun sehen wir, dass es sich bei unserer Funktion "nur" um eine Gerade handelt mit den bisher bekannten Lücken [mm] $x_1 [/mm] = 0$ bzw. [mm] $x_2=3$ [/mm] .
Zur Bestimmung der entsprechenden Funktionswerte zur Ergänzung führen wir nun die entsprechenden Grenzwertbetrachtungen für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ bzw. $x [mm] \rightarrow [/mm] 3$ durch:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x+4 \ = \ 0+4 \ = \ 4$
[mm] $\limes_{x\rightarrow 3} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] x+4 \ = \ 3+4 \ = \ 7$
Ich hoffe, es ist nun ein wenig klarer ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:34 Mo 05.09.2005 | | Autor: | steph |
Danke schonmal, loddar !!
Eine Frage hätte ich noch, denn mittlerweile ist mir schon das meiste klarer geworden: "FUnktionen, die an einer Stelle eine Defintionslücke
besitzen, dort aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen,
sind stetig ergänzbar
(oder: Die FUnktion besitzt dort eine
stetig hebbare Defintionslücke). Die stetige Ergänzung
erfolgt durch Hinzunahme des FUnktionswertes."
Irgendwie kapier ich den Abschnitt nicht ganz und zwar,
wenn ich angenommen überprüfe ob die FUnktionen stetig sind
und ich komme zu dem Ergebnis, das die Funktionen nicht
definiert sind, ABER einen eindeutigen Grenzwert besitzen.
SInd sie dann trotzdem stetig ergänzbar, oder nicht ???
Bzw. besitzt sie dort dann eine stetig hebbare Definitionslücke ???
Meine zweite Frage:
Bei deiner Rechnung zur bestimmung der entsprechenden Funktionswerte, berechnest du wenn ich richtig sehe, ja nur den RECHTEN grenzwert und nicht den linken, oder ???
Vielen Dank!
gruss
steph
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Hallo!
> Eine Frage hätte ich noch, denn mittlerweile ist mir schon
> das meiste klarer geworden: "FUnktionen, die an einer
> Stelle eine Defintionslücke
> besitzen, dort aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen,
> sind stetig ergänzbar
>
> (oder: Die FUnktion besitzt dort eine
> stetig hebbare Defintionslücke). Die stetige Ergänzung
> erfolgt durch Hinzunahme des FUnktionswertes."
>
> Irgendwie kapier ich den Abschnitt nicht ganz und zwar,
> wenn ich angenommen überprüfe ob die FUnktionen stetig sind
> und ich komme zu dem Ergebnis, das die Funktionen nicht
> definiert sind, ABER einen eindeutigen Grenzwert
> besitzen.
>
> SInd sie dann trotzdem stetig ergänzbar, oder nicht ???
> Bzw. besitzt sie dort dann eine stetig hebbare
> Definitionslücke ???
Wo ist denn jetzt die Frage? Hattest du das nicht alles schon in der ersten Frage gefragt???
Also erstmal: wie überprüfst du denn, ob die Funktion stetig ist?
Dass komplette Funktionen nicht definiert sind, ist irgendwie Blödsinn, finde ich. Also meinst du wohl, dass es eine Stelle gibt, an der die Funktion nicht definiert ist!?
Nach deinem Satz da oben sind sie ja genau dann stetig ergänzbar, wenn sie zwar nicht definiert sind, aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen. Wo ist da deine Frage?
> Meine zweite Frage:
>
> Bei deiner Rechnung zur bestimmung der entsprechenden
> Funktionswerte, berechnest du wenn ich richtig sehe, ja nur
> den RECHTEN grenzwert und nicht den linken, oder ???
Dann berechne doch auch mal den linken, da dürfte wohl dasselbe rauskommen, denn die "neue" Funktion ist doch an der ehemaligen Definitionslücke eindeutig definiert. Also lässt sich der Grenzwert (allgemein, nicht linker oder rechter) eindeutig berechnen.
Viele Grüße
Bastiane
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