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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass alle Lösungen des Differentalgleichungssystems
x´= t + [mm] \bruch{sin t}{1+x^2+y^2}y
[/mm]
y´= 3 + [mm] \bruch{cos t}{1+x^2+y^2}x
[/mm]
(t,x,y) [mm] \in \IR^3, [/mm] für alle t e [mm] \IR [/mm] definiert sind. |
Hallo zusammen,
weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll.
Ich weiß bisher, das eine Lösung nach Peano existiert wegen stetigen f(x,y,t) (auf ganz [mm] \IR) [/mm] und dass diese auch Eindeutig ist nach Lipschitz und dass maximale Lösungen bis zum Rand gehen. Aber wie bekomme ich den Definitionsbereich der Lösung?
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Hi manuela,
> Zeigen Sie, dass alle Lösungen des
> Differentalgleichungssystems
>
> x´= t + [mm]\bruch{sin t}{1+x^2+y^2}y[/mm]
> y´= 3 + [mm]\bruch{cos t}{1+x^2+y^2}x[/mm]
>
> (t,x,y) [mm]\in \IR^3,[/mm] für alle t e [mm]\IR[/mm] definiert sind.
> Hallo zusammen,
>
> weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe ran
> gehen soll.
>
> Ich weiß bisher, das eine Lösung nach Peano existiert wegen
> stetigen f(x,y,t) (auf ganz [mm]\IR)[/mm] und dass diese auch
> Eindeutig ist nach Lipschitz und dass maximale Lösungen
> bis zum Rand gehen. Aber wie bekomme ich den
> Definitionsbereich der Lösung?
>
schau dir noch mal die saetze in deiner VL an. dort ist bestimmt auch ein satz ueber die fortsetzbarkeit von loesungen dabei (in der naehe von peano). Fuer deine aufgabe laesst dieser satz wohl nur die alternative zu
a) die loesung ist global
b) die loesung explodiert (geht gegen [mm] \pm\infty) [/mm] auf einem endlichen intervall (polstelle)
wenn du variante b) ausschliessen kannst, folgt die globale existenz der loesung. man macht das nun meistens so, das man die ableitung der loesung abschaetzt, also [mm] $\|(x',y')\|\le\ldots$,wobei $\|.\|$ [/mm] eine norm ist zb. die euklidische. wenn du zb. weisst, dass [mm] $\|(x',y')\|\le C\$ [/mm] ist, kann die loesung unmoeglich explodieren, denn ihre ableitung ist beschraenkt. So einfach ist es allerdings meistens nicht.
Versuch mal dein glueck! 
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 22.01.2008 | | Autor: | Manuela |
Also ich hab jetzt die euklidische Norm berechnet, kann aber nicht wirklich erkennen ob diese nun beschränkt ist:
[mm] \wurzel{(x´)^2,(y´)^2}=
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{sin^2(t)y^2+cos^2(t)x^2+(1+x^2+y^2)^2(t^2+9)+(1+x^2+y^2)(2tsin(t)y+6cos(t)x)}{1+x^2+y^2}}
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 31.01.2008 | | Autor: | Manuela |
Hi,
hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 31.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich hab jetzt die euklidische Norm berechnet, kann
> aber nicht wirklich erkennen ob diese nun beschränkt ist:
>
> [mm]\wurzel{(x')^2,(y')^2}=[/mm]
>
> =
> [mm]\wurzel{\bruch{sin^2(t)y^2+cos^2(t)x^2+(1+x^2+y^2)^2(t^2+9)+(1+x^2+y^2)(2tsin(t)y+6cos(t)x)}{1+x^2+y^2}}[/mm]
Das sieht gut aus, aber mit der Dreiecksungleichung kannst du einfacher abschätzen:
[mm]\wurzel{(x')^2,(y')^2}\le \wurzel{t^2+9} + \wurzel{\bruch{sin^2(t)y^2+cos^2(t)x^2}{1+x^2+y^2}} \le \wurzel{t^2+9} + \wurzel{\bruch{y^2+x^2}{1+x^2+y^2}} < \wurzel{t^2+9}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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