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Guten Morgen,
es geht um die Funktion: g(x)= [mm] \frac{x^{n}}{1+x^{n}}
[/mm]
mit n [mm] \in \IN [/mm] und D{n} [mm] \subset \IR [/mm] mit [mm] g_{n}:D-> \IR
[/mm]
1.) Bestimmen Sie den maximalen De nitionsbereich [mm] D_{n} \subset \IR [/mm] von [mm] g_{n} [/mm] (d.h. die größte Teilmenge
[mm] D_{n} \subset [/mm] [mm] \IR, [/mm] auf der die Formel für [mm] g_{n} [/mm] sinnvoll ist).
meine Idee:
Ich weiß leider hier nicht so ganz was gemeint ist. Denn dadurch, dass n [mm] \in \IN [/mm] ist der Nenner stets für alle Werte [mm] \not= [/mm] 0. Also existiert keine Definitionslücke. Wie kann man dann hier den maximalen Definitionsbereich entscheiden? Denn für große x werden die Funktionswerte doch immer kleiner..
2.) Wo (in [mm] D_{n}) [/mm] ist die Funktion [mm] g_{n} [/mm] stetig?
mein Ansatz:
da die Funktion keine Definitionslücke besitzt, müsste sie doch eigentlich überall stetig sein, oder?
Außerdem ist jede differenzierbare Funktion stetig. und da diese differenzierbar ist (was ich mir mal auf den ersten Blick erlaube zu behaupten) müsste sie doch daher auch überall stetig sein ,oder?
3.) Bestimmen Sie die Menge D aller Punkte x [mm] \in \IR, [/mm] so dass:
f(x)= [mm] \limes_{n \to infty} g_{n}(x)
[/mm]
hier verstehe ich leider gar nicht was gefragt ist, da ja keine genaue Definiton oder eine Vorgabe für f vorliegt
4) berechnen sie f(x) für alle x [mm] \in [/mm] D
5) Wo in D ist f stetig?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Guten Morgen,
> es geht um die Funktion: g(x)= [mm]\frac{x^{n}}{1+x^{n}}[/mm]
> mit n [mm]\in \IN[/mm] und D{n} [mm]\subset \IR[/mm] mit [mm]g_{n}:D-> \IR[/mm]
> 1.)
> Bestimmen Sie den maximalen De nitionsbereich [mm]D_{n} \subset \IR[/mm]
> von [mm]g_{n}[/mm] (d.h. die größte Teilmenge
> [mm]D_{n} \subset[/mm] [mm]\IR,[/mm] auf der die Formel für [mm]g_{n}[/mm]
> sinnvoll ist).
>
> meine Idee:
> Ich weiß leider hier nicht so ganz was gemeint ist. Denn
> dadurch, dass n [mm]\in \IN[/mm] ist der Nenner stets für alle
> Werte [mm]\not=[/mm] 0.
Das ist ein großer Irrtum. Was passiert bei ungeraden n?
> Also existiert keine Definitionslücke. Wie
> kann man dann hier den maximalen Definitionsbereich
> entscheiden? Denn für große x werden die Funktionswerte
> doch immer kleiner..
>
>
> 2.) Wo (in [mm]D_{n})[/mm] ist die Funktion [mm]g_{n}[/mm] stetig?
> mein Ansatz:
> da die Funktion keine Definitionslücke besitzt, müsste
> sie doch eigentlich überall stetig sein, oder?
Wie gesagt, das mit den Definitionslücken wird sich nicht halten lassen. Stetig sind die Funktionen dennoch auf ihrem gesamten Definitionsbereich, du musst das halt anders begründen bzw. nachweisen.
> Außerdem ist jede differenzierbare Funktion stetig. und
> da diese differenzierbar ist (was ich mir mal auf den
> ersten Blick erlaube zu behaupten)
Diese Art 'Begründungen' gewöhne dir mal in der Mathematik ganz schnell ab. Sonst könnte man Mathe ganz abschaffen und Kristallkugeln ausgeben...
> müsste sie doch daher
> auch überall stetig sein ,oder?
Wie gesagt: ein Holzweg. 
> 3.) Bestimmen Sie die Menge D aller Punkte x [mm]\in \IR,[/mm] so
> dass:
> f(x)= [mm]\limes_{n \to infty} g_{n}(x)[/mm]
> hier verstehe ich
> leider gar nicht was gefragt ist, da ja keine genaue
> Definiton oder eine Vorgabe für f vorliegt
Die sollst du ja ausrechnen!
>
> 4) berechnen sie f(x) für alle x [mm]\in[/mm] D
>
> 5) Wo in D ist f stetig?
>
4) und 5) sind mit dem Ergebnis aus 3) trivial, daher gehe ich nicht weiter darauf ein.
Gruß, Diophant
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Hey
> 1.)
> > Bestimmen Sie den maximalen De nitionsbereich [mm]D_{n} \subset \IR[/mm]
>
> > von [mm]g_{n}[/mm] (d.h. die größte Teilmenge
> > [mm]D_{n} \subset[/mm] [mm]\IR,[/mm] auf der die Formel für [mm]g_{n}[/mm]
> > sinnvoll ist).
> >
Dann besteht die Teilmenge aus allen geraden Werten von n, richtig?
Also:
[mm] D_{n}= [/mm] {n [mm] \in \IN [/mm] | n:= 2n }
>
> >
> > 2.) Wo (in [mm]D_{n})[/mm] ist die Funktion [mm]g_{n}[/mm] stetig?
> > mein Ansatz:
> > da die Funktion keine Definitionslücke besitzt,
> müsste
> > sie doch eigentlich überall stetig sein, oder?
>
Wenn ich festlege, dass n:=2n , wie kann ich dann die Stetigkeit begründen?
vielleicht so:
[mm] \limes_{x \to 0} [/mm] g(x)(für x [mm] \ge [/mm] 0) = [mm] \limes_{x \to 0} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}[red](für [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0) [/red]= [mm] \frac{1}{1+1}= \limes_{x \to 0} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}[red] [/mm] (für x [mm] \le [/mm] 0) [/red] = [mm] \limes_{x \to 0} [/mm] g(x) (für x [mm] \le [/mm] 0)
damit hätte ich ja bewiesen, dass der linkseite Grenzwert = dem rechtsseitigem ist
>
> > 3.) Bestimmen Sie die Menge D aller Punkte x [mm]\in \IR,[/mm] so
> > dass:
> > f(x)= [mm]\limes_{n \to infty} g_{n}(x)[/mm]
aber wie kann man die Menge aller Punkte bestimmen?
für n gegen unendlich liegt der Grenzwert bei=1. Aber Wie kann ich jetzt die Menge aller Punkte aus [mm] D_{n} [/mm] bestimmen?
>
> >
> > 4) berechnen sie f(x) für alle x [mm]\in[/mm] D
f(x)=1 oder?
> >
> > 5) Wo in D ist f stetig?
eine Konstante ist doch immer stetig, reicht dies als Begründung?
LG
Stinibini
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 13.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Dann besteht die Teilmenge aus allen geraden
> Werten von n, richtig? Also:
> $ [mm] D_{n}=\{n\in\IN:n=2m, m\in\IN\}$
[/mm]
>
Vorsicht, deine Funktion ist eine Funktion [mm] g_{n}(x), [/mm] die "Hauptvariable" ist also x.
Und solange n gerade ist, musst du den Nenner auch nicht einschränken.
Ist n aber ungerade, musst du beachten, dass [mm] (-1)^n=-1
[/mm]
Daher musst du die Kombination "ungerades n" und "x=-1" ausschliessen.
> >
> > 2.) Wo (in [$ [mm] D_{n}) [/mm] $] ist die Funktion [$ [mm] g_{n} [/mm] $] stetig?
> > mein Ansatz:
> > da die Funktion keine Definitionslücke besitzt,
> müsste
> > sie doch eigentlich überall stetig sein, oder?
> Wenn ich festlege, dass n:=2n ,
> wie kann ich dann die Stetigkeit begründen?
> vielleicht so:
> [$ [mm] \limes_{x \to 0} [/mm] $] g(x)(für x [$ [mm] \ge [/mm] $] 0)
> = [$ [mm] \limes_{x \to 0} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}[red](für [/mm] $] x [$ [mm] \ge [/mm] $] 0) [/red]
> = [$ [mm] \frac{1}{1+1}= \limes_{x \to 0} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}[red] [/mm] $] (für x [$ [mm] \le [/mm] $] 0) [/red]
> = [$ [mm] \limes_{x \to 0} [/mm] $] g(x) (für x [$ [mm] \le [/mm] $] 0)
>
> damit hätte ich ja bewiesen, dass der linkseite Grenzwert
> = dem rechtsseitigem ist
Du musst den Fall "ungerades n" an der Stelle x=-1 auf Stetigkeit überprüfen, denn nur dann hast du Definitionslücken. Ansonsten hast du in der Tat die Kombination aus stetigen Funktionen, und diese ist wieder stetig.
>
> > 3.) Bestimmen Sie die Menge D aller Punkte x [$ [mm] \in \IR, [/mm] $] so
> > dass:
> > f(x)= [$ [mm] \limes_{n \to infty} g_{n}(x) [/mm] $]
> aber wie kann man die Menge aller Punkte bestimmen?
>
> für n gegen unendlich liegt der Grenzwert bei=1.
> Aber Wie kann ich jetzt die Menge aller Punkte
> aus [$ [mm] D_{n} [/mm] $] bestimmen?
Das stimmt. Damit mit 1 das Supremum von f(x)
Und was ist der kleinste Wert, also was ist mit n=1?
>
> >
> > 4) berechnen sie f(x) für alle x [$ [mm] \in [/mm] $] D
f(x)=1 oder?
Nein, f(x) hat als obere Schranke die 1, als untere Schranke überprüfe mal, was für n=1 passiert. (Siehe Aufgabenteil 3)
> >
> > 5) Wo in D ist f stetig?
> eine Konstante ist doch immer stetig,
> reicht dies als Begründung?
Nein, f(x) ist keine Konstante.
Marius
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Heho
zu 1. Stimmt dann meine Definition von [mm] D_{n}? [/mm] denn damit habe ich ja alle ungeraden n ausgeschlossen
2.
Aber wenn ich den Fall ungerade n ausgeschlossen habe? wieso muss ich ihn dann an dieser Stelle noch überprüfen? Denn n ungerade liegt ja nicht mehr in der Menge.
ich habe trotzdem mal versucht diesen Fall auf Stetigkeit zu untersuche:
allerdings scheitere ich bei:
[mm] \limes_{x \to -1} \frac{x^{n}}{x^{n}+1}
[/mm]
denn das funktioniert ja nicht..
3.)
für n=1 liegt der Grenzwert bei 0,5. das gibt mir zwar den Definitonsbereich von f(x) ( was wohl zu 4. gehört) aber damit weiß ich ja trotzdem noch nicht für welche Punkte f(x)= [[mm] \limes_{n \to infty} g_{n}(x) erfüllt ist. Oder gilt dies einfach für alle n \in D?
4) berechnen sie f(x) für alle x  mm] \in [/mm D[/mm][/mm]
es müsste doch gelten: 0,5 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1 oder? reicht dies an dieser Stelle?
5) Wo in D ist f stetig?
Wenn f zwischen 0,5 und 1 liegt müsste ich ja dann quasi die kritische Stelle überprüfen, oder?. Aber wie kann ich diese Herausfinden?
LG
Stinibini
PS: tausend Dank vorab für die Hilfe
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Hallo,
.
Du hast gegeben eine Funktionenfolge [mm] (g_n)_{n\in \IN} [/mm] mit
[mm] g_n: D_n\to \IR,
[/mm]
[mm] g_n(x):=\bruch{x^n}{1+x^n}.
[/mm]
Man hat es hier also mit ganz vielen Funktionen zu tun:
[mm] g_1(x):=\bruch{x^1}{1+x^1},
[/mm]
[mm] g_2(x):=\bruch{x^2}{1+x^2},
[/mm]
[mm] g_3(x):=\bruch{x^3}{1+x^3},
[/mm]
[mm] g_4(x):=\bruch{x^4}{1+x^4},
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
Du sollst nun für jede dieser Funktionen [mm] g_n [/mm] den max. Definitionsbereich [mm] D_n [/mm] bestimmen.
Was ist "Definitionsbereich"? Die Menge, die alle Zahlen x enthält, die man für x in die Funktionsvorschrift einsetzen darf.
> zu 1. Stimmt dann meine Definition von [mm]D_{n}?[/mm] denn damit
> habe ich ja alle ungeraden n ausgeschlossen
Nein, Dein [mm] D_n [/mm] stimmt ganz sicher nicht:
man will von Dir wissen, was man für x einsetzen darf, und ich sehe nichts, was es mir verbietet, ungerade Zahlen, oder [mm] \pi [/mm] oder [mm] \wurzel{17} [/mm] oder bruch{5}{9} einzusetzen.
Bestimmen wir mal [mm] D_1:
[/mm]
es ist [mm] g_1(x):=\bruch{x^1}{1+x^1}, [/mm] und wir müssen überlegen, ob es etwas gibt, was verhindert, daß wir als max. Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] nehmen können.
Ja, gibt's. Brüche sind immer kritisch, denn man darf nicht durch 0 teilen. Für x=-1 bekommen wir im Nenner die 0, alle anderen Zahlen sind unkritisch.
Also haben wir [mm] D_1=\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Bestimmen wir [mm] D_2:
[/mm]
es ist [mm] g_2(x):=\bruch{x^2}{1+x^2}, [/mm] und wir müssen überlegen, ob es etwas gibt, was verhindert, daß wir als max. Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] nehmen können.
Brüche sind immer kritisch, denn man darf nicht durch 0 teilen. Aber [mm] x^2 [/mm] ist immer [mm] \ge [/mm] 0, also ist [mm] 1+x^2> [/mm] 0, und somit müssen wir den Definitionsbereich nicht einschränken.
Es ist [mm] D_2=\IR.
[/mm]
Du solltest jetzt die allgemeine Überlegung notieren:
n gerade : ..., denn ...
n ungerade : ..., denn ...
Zur Stetigkeit der Funktion [mm] g_n:
[/mm]
Du hast sicher etwas über die Stetigkeit von [mm] x^n [/mm] gelernt, ebenso über die Summe stetiger Funktionen und den Quotienten.
Wenn Du diese Informationen in einer sauberen Argumentation zusammenfügst, bekommst Du, daß alle [mm] g_n [/mm] stetig auf ihrem Definitionsbereich sind.
> 3.)
Hier sollst Du Dich beschäftigen mit [mm] \lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.
[/mm]
Stelle fest, an welchen Stellen der GW existiert und welches ggf. sein Wert ist.
Mach das mal für ein paar Werte:
[mm] \lim_{n\to\infty}g_n(-5)=
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}g_n(10)=
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}g_n(\pi)=
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}g_n(-\wurzel{2})
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}g_n(0)=
[/mm]
Überlege den GW dann allgemein für beliebiges x.
Die Stellen, an denen der GW existiert, sind der Definitionsbereich D einer neuen Funktion f, welche wie folgt definiert ist.
[mm] f(x):=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.
[/mm]
Notiere die Funktionsvorschrift.
>
> für n=1 liegt der Grenzwert bei 0,5.
Quatsch: n geht gegen [mm] \infty, [/mm] daher ist es Kappes, über n=1 nachzudenken.
LG Angela
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Hallo
danke für deine Antwort
> Du hast gegeben eine Funktionenfolge [mm](g_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
>
> [mm]g_n: D_n\to \IR,[/mm]
> [mm]g_n(x):=\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
>
> Man hat es hier also mit ganz vielen Funktionen zu tun:
>
> [mm]g_1(x):=\bruch{x^1}{1+x^1},[/mm]
> [mm]g_2(x):=\bruch{x^2}{1+x^2},[/mm]
> [mm]g_3(x):=\bruch{x^3}{1+x^3},[/mm]
> [mm]g_4(x):=\bruch{x^4}{1+x^4},[/mm]
> [mm]\vdots.[/mm]
>
>
>
> Du sollst nun für jede dieser Funktionen [mm]g_n[/mm] den max.
> Definitionsbereich [mm]D_n[/mm] bestimmen.
>
> Was ist "Definitionsbereich"? Die Menge, die alle Zahlen x
> enthält, die man für x in die Funktionsvorschrift
> einsetzen darf.
>
>
> > zu 1. Stimmt dann meine Definition von [mm]D_{n}?[/mm] denn damit
> > habe ich ja alle ungeraden n ausgeschlossen
>
> Nein, Dein [mm]D_n[/mm] stimmt ganz sicher nicht:
> man will von Dir wissen, was man für x einsetzen darf,
> und ich sehe nichts, was es mir verbietet, ungerade Zahlen,
> oder [mm]\pi[/mm] oder [mm]\wurzel{17}[/mm] oder bruch{5}{9} einzusetzen.
> Du solltest jetzt die allgemeine Überlegung notieren:
>
> n gerade : ..., denn ...
für gerade n können wir als Definitionsbereich die reellen Zahlen verwenden, denn der Nenner kann nie =0 werden
> n ungerade : ..., denn ...
Für ungerade Zahlen ist [mm] D_{n}= \IR\{-1}, [/mm] da der Nenner für x=-1 0 wird. Und das ist nicht erlaubt.
Stimmt das so?
2.Zur Stetigkeit der Funktion [mm]g_n:[/mm]
>
> Du hast sicher etwas über die Stetigkeit von [mm]x^n[/mm] gelernt,
> ebenso über die Summe stetiger Funktionen und den
> Quotienten.
> Wenn Du diese Informationen in einer sauberen
> Argumentation zusammenfügst, bekommst Du, daß alle [mm]g_n[/mm]
> stetig auf ihrem Definitionsbereich sind.
Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen im gesamten Definitionsbereich stetig.
3.)
>
> Hier sollst Du Dich beschäftigen mit
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
>
> Stelle fest, an welchen Stellen der GW existiert und
> welches ggf. sein Wert ist.
>
> Mach das mal für ein paar Werte:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-5)=[/mm] 1
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(10)=[/mm] 1
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(\pi)=[/mm] 1
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-\wurzel{2})[/mm] hier existiert er nicht
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(0)=[/mm] 0
>
>
> Überlege den GW dann allgemein für beliebiges x.
Im Definitionsbereich mit x [mm] \ge [/mm] 1 und x < -1 liegt der Grenzwert also immer bei =1
Im Definitionsbereich x=0 liegt der Grenzwert bei 0
Für0< x<1 und 0>x>1 besitzt die Funktion keinen Grenzwert.
> Die Stellen, an denen der GW existiert, sind der
> Definitionsbereich D einer neuen Funktion f, welche wie
> folgt definiert ist.
>
> [mm]f(x):=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
>
> Notiere die Funktionsvorschrift.
also definiert man f(x) mit x [mm] \in \IR: [/mm] x<-1, [mm] x\ge [/mm] 1 , x=0 ?
Bei der Stetigkeit von f stehe ich allerdings dann leider auf dem Schlauch :-(
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 13.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein ausser bei -1 für ungerade n ist doch g für alle endlichen n defineirt.
der GW der funktion [mm] g_n [/mm] für |x|>1 und x=1 und für |x|< 1 musst du getrennt untersuchen.
was [mm] ergibt\limes_{n\rightarrow\infty} x^n [/mm] für x<1 denn ?
und wie definierst du die Grenzfunktion dann genau?
Gruss leduart
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> > [mm]g_n: D_n\to \IR,[/mm]
> > [mm]g_n(x):=\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> > Du sollst nun für jede dieser Funktionen [mm]g_n[/mm] den max.
> > Definitionsbereich [mm]D_n[/mm] bestimmen.
> > Du solltest jetzt die allgemeine Überlegung notieren:
> >
> > n gerade : ..., denn ...
>
> für gerade n können wir als Definitionsbereich die
> reellen Zahlen verwenden, denn der Nenner kann nie =0
> werden
Hallo,
ja.
>
> > n ungerade : ..., denn ...
>
> Für ungerade Zahlen ist [mm]D_{n}= \IR\setminus\{-1\},[/mm] da der Nenner
> für x=-1 0 wird. Und das ist nicht erlaubt.
>
> Stimmt das so?
Ja.
>
>
> 2.Zur Stetigkeit der Funktion [mm]g_n:[/mm]
> >
> Die Funktion
[mm] g_n [/mm] ,
> ist als Komposition stetiger Funktionen im
> gesamten Definitionsbereich stetig.
Ja.
>
>
> 3.)
> >
> > Hier sollst Du Dich beschäftigen mit
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> >
> > Stelle fest, an welchen Stellen der GW existiert und
> > welches ggf. sein Wert ist.
> >
> > Mach das mal für ein paar Werte:
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-5)=[/mm] 1
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(10)=[/mm] 1
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(\pi)=[/mm] 1
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-\wurzel{2})[/mm] hier existiert er nicht
??? Wie kommst Du denn darauf?
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(0)=[/mm] 0
> >
> >
> > Überlege den GW dann allgemein für beliebiges x.
Überlege= rechne vor.
>
> Im Definitionsbereich mit x [mm]\ge[/mm] 1 und x < -1 liegt der
> Grenzwert also immer bei =1
Ja?
Das widerspricht einerseits dem, was Du in einem anderen Post über x=1 verkündet hattest, und außerdem paßt es nicht dazu, daß Du oben erzählst, daß der GW für [mm] x=-\wurzel{2} [/mm] nicht definiert ist.
Du solltest nochmal etwas Klarheit schaffen und dann Deine Behauptungen rechnend beweisen.
> Im Definitionsbereich x=0 liegt der Grenzwert bei 0
Du willst sicher sagen, daß man für x=0 den GW 0 bekommt.
Was ist mit x=-1?
> Für0< x<1 und 0>x>1 besitzt
Die beiden Bereiche sind gleich...
> die Funktion keinen
> Grenzwert.
Wieso?
> > Die Stellen, an denen der GW existiert, sind der
> > Definitionsbereich D einer neuen Funktion f, welche wie
> > folgt definiert ist.
> >
> > [mm]f(x):=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> >
> > Notiere die Funktionsvorschrift.
> Bei der Stetigkeit von f stehe ich allerdings dann leider
> auf dem Schlauch :-(
Über die können wir erst sprechen, wenn wir f haben.
LG Angela
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Guten Morgen
> > 3.)
> > >
> > > Hier sollst Du Dich beschäftigen mit
> > >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> > >
> > > Stelle fest, an welchen Stellen der GW existiert und
> > > welches ggf. sein Wert ist.
> > >
> > > Mach das mal für ein paar Werte:
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-5)=[/mm] 1
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(10)=[/mm] 1> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(\pi)=[/mm] 1
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-\wurzel{2})[/mm] hier existiert er nicht
>
> ??? Wie kommst Du denn darauf?
z.B. [mm] \frac{1^99}{(1^99)+1} [/mm] = 1 und genau so sieht es doch bei den anderen vorgegeben Zahlen aus, oder? Und bei [mm] g(\wurze{2}) [/mm] erhalte ich ebenfalls =1.. entschuldige bitte. da habe ich mich verrechnet.
>
> > >
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(0)=[/mm] 0
> > >
> > >
> > > Überlege den GW dann allgemein für beliebiges x.
>
> Überlege= rechne vor.
Wie leduart es bereist sagt, muss ich die Bereiche |x|<1 , |x|=1 und |x|>1 untersuchen. Für |x|>1 erhalte ich den Grenzwert =1
für |x|<1 besitzt die Funktion keinen Grenzwert
und für |x|=1 liegt der Grenzwert bei =0,5
stimmt das soweit? damit habe ich ja x=-1 außenvor gelassen
>
> > > Die Stellen, an denen der GW existiert, sind der
> > > Definitionsbereich D einer neuen Funktion f, welche wie
> > > folgt definiert ist.
> > >
> > > [mm]f(x):=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> > >
> > > Notiere die Funktionsvorschrift.
ich würde jetzt vorschlagen:
f(x)= [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}
[/mm]
mit [mm] |x|\ge [/mm] 1 (aber x=0 würde ja eigentlich auch funktionieren?!)
LG
Stinibini
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso besitzt die fkt für |x|<1 keinen GW? was ist denn der GW des Zählers? und der des Nenners? man sollte solche Behauptungen immer mit Argumenten (= Beweisen) untermauern, wenn man das nicht kann, merkt man, dass es wohl nicht stimmt.
wenigstens mal einen Wert wir x=1/10<1 einsetzen und n=100 und dann 1000 einstzen und f-n(1/10) ansehen!
Gruß leduart
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> Guten Morgen
>
> > > 3.)
> > > >
> > > > Hier sollst Du Dich beschäftigen mit
> > > >
> > >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> > > >
> > > > Stelle fest, an welchen Stellen der GW existiert und
> > > > welches ggf. sein Wert ist.
> > > >
> > > > Mach das mal für ein paar Werte:
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-5)=[/mm] 1
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(10)=[/mm] 1> > >
> > > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(\pi)=[/mm] 1
> > > >
> > > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(-\wurzel{2})[/mm] hier existiert er nicht
> >
> > ??? Wie kommst Du denn darauf?
>
> z.B. [mm]\frac{1^{99}}{(1^{99})+1}[/mm] = 1
Hallo,
da bekomme ich aber etwas anderes raus...
Es beschleicht mich gerade ein Verdacht: berechnest Du die Grenzwerte, indem Du für n eine große Zahl, z.B. n=99, einsetzt und den Taschenrechner rechnen läßt?
Falls ja: um Dir insgeheim einen ersten Eindruck zu verschaffen, ist das in Ordnung. Aber man erwartet von Dir, daß Du vorrechnest, wieso für |x|>1 als GW die 1 herauskommt, und für alle anderen Stellen wird ebenfalls eine beweiskräftige Rechnung erwartet.
> > > > [mm]\lim_{n\to\infty}g_n(0)=[/mm] 0
Ja.
> > > >
> > > >
> > > > Überlege den GW dann allgemein für beliebiges x.
> >
> > Überlege= rechne vor.
>
> Wie leduart es bereist sagt, muss ich die Bereiche |x|<1 ,
> |x|=1 und |x|>1 untersuchen. Für |x|>1 erhalte ich den
> Grenzwert =1
> für |x|<1 besitzt die Funktion keinen Grenzwert
Doch. (s. leduarts Antwort.)
> und für |x|=1 liegt der Grenzwert bei =0,5
Für x=1 stimme ich Dir zu. (Komisch, oben schreibst Du etwas anderes.)
> stimmt das soweit? damit habe ich ja x=-1 außenvor
> gelassen
Nö. Bei |x|=1 ist x=-1 inbegriffen - und das ist ein grober Fehler:
da für x=-1 die [mm] g_n [/mm] für ungerades n überhaupt nicht definiert sind, wäre es doch ziemlich hohl, für x=-1 den besagten Grenzwert zu berechnen.
>
> >
> > > > Die Stellen, an denen der GW existiert, sind der
> > > > Definitionsbereich D einer neuen Funktion f, welche wie
> > > > folgt definiert ist.
> > > >
> > > > [mm]f(x):=\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}.[/mm]
> > > >
> > > > Notiere die Funktionsvorschrift.
>
> ich würde jetzt vorschlagen:
> f(x)= [mm]\lim_{n\to\infty}\bruch{x^n}{1+x^n}[/mm]
> mit [mm]|x|\ge[/mm] 1 (aber x=0 würde ja eigentlich auch
> funktionieren?!)
Als erstes mal solltest Du den Definitionsbereich D von f angeben, also alle x, bei denen der GW überhaupt existiert.u sollst natürlich nicht die Funktionsvorschrift mit dem limes angeben (die kennen wir ja schon), sondern abschnittweise:
[mm] f(x)=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x>1 \\ ..., & \mbox{für } x=1 \\ ..., & \mbox{für } -1
Irgendwie habe ich den Eindruck, daß Du eigentlich gar nicht verstehst, was Du tust - wenn ich mich täusche, dann freue ich mich.
Du kannst es Dir veranschaulichen:
plotte Dir mal ein paar Funktionen, etwa [mm] g_5, g_{10}, g_{45}, g_{50}, g_{95}, g_{100}.
[/mm]
Schau Dir die mit ungeradem n an: Du siehst, daß sie an der Stelle x=-1 nicht definiert sind.
Jetzt betrachten wir man [mm] \lim_{n\to \infty}g_n(3): [/mm] schau Dir die Funktionswerte an der Stelle x=3 an. Siehst Du, daß sie sich der 1 nähern?
Guck bei x=1, bei x=-1/4, bei x=-2 und schau, ob die Graphen Deine Überlegungen bestätigen.
LG Angela
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Hey > > Guten Morgen
> Als erstes mal solltest Du den Definitionsbereich D von f
> angeben, also alle x, bei denen der GW überhaupt
> existiert.u sollst natürlich nicht die Funktionsvorschrift
> mit dem limes angeben (die kennen wir ja schon), sondern
> abschnittweise:
>
[mm] f(x)=\begin{cases} 1 , & \mbox{für } x>1 \\ 0,5, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } -1
die 1 im Grenzwert hängt vorallem mit der +1 im Nenner der Funktion zusammen, die für immer größere n eine immer kleiner Bedeutung besitzt (bei x>1 und x<-1)
ich hoffe es stimmt jetzt so. Ich hoffe du erkennst du, dass ich eigentlich weiß was ich tue. Das sind dann also alle Punkte für die der Grenzwert existiert. Richtig? oder kann man dies direkt schon als Funktionsvorschrift verstehen?
LG
PS: Dein Tipp konnte ich mir zwar nicht mit einem Plotter zeichnen lassen, habe ihn aber trotzdem hoffentlich sinnvoll genutzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey > > Guten Morgen
>
> > Als erstes mal solltest Du den Definitionsbereich D von f
> > angeben, also alle x, bei denen der GW überhaupt
> > existiert.u sollst natürlich nicht die Funktionsvorschrift
> > mit dem limes angeben (die kennen wir ja schon), sondern
> > abschnittweise:
> >
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1 , & \mbox{für } x>1 \\ 0,5, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } -1
Ist O.K.
>
> die 1 im Grenzwert hängt vorallem mit der +1 im Nenner der
> Funktion zusammen, die für immer größere n eine immer
> kleiner Bedeutung besitzt (bei x>1 und x<-1)
Dafür sollte Dir eine bessere Begründung einfallen, als obiges "Wischi-waschi".
>
> ich hoffe es stimmt jetzt so. Ich hoffe du erkennst du,
> dass ich eigentlich weiß was ich tue. Das sind dann also
> alle Punkte für die der Grenzwert existiert. Richtig?
Ja
> oder
> kann man dies direkt schon als Funktionsvorschrift
> verstehen?
Was meinst Du damit ?
FRED
>
>
> LG
>
> PS: Dein Tipp konnte ich mir zwar nicht mit einem Plotter
> zeichnen lassen, habe ihn aber trotzdem hoffentlich
> sinnvoll genutzt
>
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Hey
ich soll im 4. Aufgabenteil f(x) für alle x [mm] \in [/mm] D berechnen. Aber das habe ich doch dann quasi schon getan, in dem ich angeben habe für welche Werte f(x) existiert oder?
und dann hatte ich mir vorgenommen noch die Stetigkeit von f(x) anzugucken.und anzugeben, wo in D f(x) stetig ist. Aber nach der obigen Definitionsvorschrift ist f(x) doch nirgendwo stetig oder? Denn es sind doch 3 verschiedene Konstante Werte, die für kein x [mm] \in [/mm] D ineinander über gehen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ich soll im 4. Aufgabenteil f(x) für alle x [mm]\in[/mm] D
> berechnen. Aber das habe ich doch dann quasi schon getan,
> in dem ich angeben habe für welche Werte f(x) existiert
> oder?
Ja, das hast Du.
>
>
> und dann hatte ich mir vorgenommen noch die Stetigkeit von
> f(x) anzugucken.und anzugeben, wo in D f(x) stetig ist.
> Aber nach der obigen Definitionsvorschrift ist f(x) doch
> nirgendwo stetig oder?
Unfug !
> Denn es sind doch 3 verschiedene
> Konstante Werte, die für kein x [mm]\in[/mm] D ineinander über
> gehen
Zeichne Dir den Graphen von f. Dannsolltest Du sehen:
f ist in jedem x [mm] \in \IR \setminus\{-1,1\} [/mm] stetig
FRED
>
>
>
> LG
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Hey
aber wenn ich mir den Graphen zeichne, so ist er ja bei x=1 noch bei 0,5 und für x>1 schon bei 1. Das hört sich jetzt leider alles andere als mathematisch an, aber da geht doch in diesem Falle "nichts ineinander über" oder?
LG
stinibini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
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> aber wenn ich mir den Graphen zeichne, so ist er ja bei x=1
> noch bei 0,5 und für x>1 schon bei 1.
Hey, hoha, so ist es !
> Das hört sich jetzt
> leider alles andere als mathematisch an, aber da geht doch
> in diesem Falle "nichts ineinander über" oder?
Deswegen ist f ja auch in x=1 nicht stetig !
FRED
>
>
> LG
>
> stinibini
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Hey
okay das verstehe ich ich. Aber dann ist f ja auch nicht für alle x zwischen 1 und -1 stetig oder? denn da liegen die Funktionswerte ja bei =0 oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> okay das verstehe ich ich. Aber dann ist f ja auch nicht
> für alle x zwischen 1 und -1 stetig oder? denn da liegen
> die Funktionswerte ja bei =0 oder sehe ich das falsch?
Im Intervall (1, [mm] \infty) [/mm] ist f konstant, also ist f auf (1, [mm] \infty) [/mm] stetig.
Im Intervall (-1, 1) ist f konstant, also ist f auf (-1, 1) stetig.
Im Intervall (- [mm] \infty, [/mm] -1) ist f konstant, also ist f auf (- [mm] \infty, [/mm] -1) stetig.
FRED
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Hey
eine Frage habe ich noch und zwar soll ich ja bei 3.) alle Punkte angeben, an denen der Grenzwert existiert.
also [mm] limes_{n \to \infty} [/mm] g(x)
dieser existiert doch für alle x [mm] \in \IR [/mm] \ {-1} oder?
aber Vorausgesetzt n ist gerade, so existiert dieser doch oder?
Kann man daher einfach angeben, dass der Grenzwert für alle x [mm] \in D_{n} [/mm] existiert?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du die Frage exakt aufschreiben? geht es um den GW für n gegen unendlich von [mm] f_n?
[/mm]
dann hast du recht.
Gruß leduart
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Hey
nein nicht ganz. Es geht darum für welche x [mm] \in [/mm] D der Grenzwert
[mm] limes_{n \to \infty} [/mm] g(x) existiert.
Stimmt es, dass dieser für alle x [mm] \in D_{n} [/mm] existiert?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist g(x)? und bitte nicht "es geht darum" sondern die exakteWiedergabe der Frage.
Gruss leduart
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> Hey
> eine Frage habe ich noch und zwar soll ich ja bei 3.) alle
> Punkte angeben, an denen der Grenzwert existiert.
> also [mm]limes_{n \to \infty}[/mm] g(x)
> dieser existiert doch für alle x [mm]\in \IR[/mm] \ {-1} oder?
Hallo,
ja.
> aber Vorausgesetzt n ist gerade, so existiert dieser doch
> oder?
Ja. Die Teilfolge der geraden Folgenglieder konvergiert,
und es ist
[mm] \lim_{n\to\infty}g_{2n}(-1)=\bruch{1}{2}.
[/mm]
> Kann man daher einfach angeben, dass der Grenzwert für
> alle x [mm]\in D_{n}[/mm] existiert?
Nein, man kann das nicht "einfach" angeben.
Erstens mal sind die [mm] D_n [/mm] ganz viele Mengen, und Du müßtest Dich schon konkret festlegen, welche [mm] x\in \IR [/mm] nun in der in 3.) zu definierenden Menge D drin sein sollen.
Zweitens kannst Du natürlich nicht angeben, daß eine Folge konvergent ist, wenn sie gar nicht konvergent ist.
Die -1 ist nicht drin, weil [mm] g_{n}(-1) [/mm] für jedes zweite n gar nicht definiert ist, was zu Folge hat, daß die Folge
[mm] (g_n(-1))_{n\in \IN}
[/mm]
eine nicht existente Teilfolge hat - das ist ja wohl noch schlimmer als eine nicht konvergente, und es macht, daß schon alleine das Hinschreiben des Ausdrucks [mm] \lim_{n\to\infty}g_n(-1) [/mm] Quatsch mit Soße ist.
LG Angela
>
> LG
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> > > 2.) Wo (in [mm] D_{n}) [/mm] ] ist die Funktion [mm] g_{n} [/mm]
> stetig?
>
> > > mein Ansatz:
>
> > > da die Funktion keine Definitionslücke besitzt,
>
> > müsste
> > > sie doch eigentlich überall stetig sein, oder?
>
> Du musst den Fall "ungerades n" an der Stelle x=-1 auf
> Stetigkeit überprüfen,
Moin,
eine Funktion kann nur stetig oder unstetig sein an Stellen, an denen sie auch definiert ist.
Auf ihrem Definitionsbereich ist [mm] g_n [/mm] stetig,
und die Tatsache, daß sie für ungerades n bei x=-1 nicht stetig ergänzbar ist, ändert daran nichts.
LG Angela
> denn nur dann hast du
> Definitionslücken. Ansonsten hast du in der Tat die
> Kombination aus stetigen Funktionen, und diese ist wieder
> stetig.
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