Definitionsbereich angeben < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage(n) in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Hallo,
ich bin neu hier und noch nicht so ganz mit der doch etwas ungewohnten Forenhandhabung vertraut, daher hoffe ich, dass ihr mir die wahrscheinlich vorhandenen Fehler verzeiht :)
Als Lösung einer Differentialgleichung bin ich auf folgende Funktion gekommen:
[mm]y=\operatorname{Arccos}\left(k\cdot e^{\sin x}\right)\, ,\quad k\in\IR\backslash\{0\}[/mm]
Da der Arccos ja nur für [mm]-1\leqslant x\leqslant 1[/mm] definiert ist, ergibt sich:
[mm]\left| k\cdot e^{\sin x}\right|\leqslant 1\quad\Rightarrow\quad e^{\sin x}\leqslant \frac{1}{|k|}[/mm]
Das will weiter vereinfachen und komme auf
[mm]x\leqslant \operatorname{Arcsin}(-\ln |k|)[/mm] bzw. da [mm]\sin x = \sin (\pi-x)[/mm] auf [mm]x\geqslant \operatorname{Arcsin}(-\ln |k|)[/mm]
Das führt, da der Arcsin ebenfalls nur für [mm]-1\leqslant x\leqslant 1[/mm] definiert ist, zu Bedingungen für k, und zwar:
[mm]-\ln |k|\leqslant 1\quad\Rightarrow\quad |k|\geqslant e^{-1}[/mm] und [mm]-\ln |k|\geqslant -1\quad\Rightarrow\quad |k|\leqslant e[/mm].
Frage 1: Es wundert mich, dass die Funktion ja aber auch für ein positives [mm]k<\frac{1}{e}[/mm] existiert. Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Z.B. für [mm]k=\frac{1}{e^2}[/mm] existiert die Funktion obwohl ich in den Rechnungen mit |k| keinen Fehler finden kann. Bei einer Fallunterscheidung für k>0 komme ich auch auf eine andere Definition für k, nämlich 0<k<=e ...
Frage 2: Der Definitionsbereich der Funktion [mm]y[/mm] müsste ja, da der Sinus im Exponent periodisch ist, ja auch quasi periodisch sein. Anhand der Bedingungen ergäbe sich als ein Teil des gesamten Bereichs [mm]\pi-\operatorname{Arcsin}(-\ln |k|)\leqslant x\leqslant\operatorname{Arcsin}(-\ln |k|)[/mm], der gesamte Bereich dann als dieser, immer wieder verschoben um [mm]2\pi[/mm]. Gilt diese Beziehung wirklich immer, d.h. ist niemals die Untergrenze größer als die Obergrenze?
Bitte könnte ihr mir da helfen, bzw. mir zumindest meinen Fehler sagen. Das mit dem k schlaucht mich am meisten, weil ich genau weiß, dass da etwas falsch sein muss :(
Danke schonmal
Johannes
|
|
| |
|
Hallo,
es ist irgendwie nicht die richtige Zeit für Fallunterscheidungen; deshalb habe ich das mal in den Compi eingetippt und beim Anblick des Ergebnisses vollends die Lust verloren ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") :
| 1: | In[1]:=
| | 2: | LogicalExpand[Reduce[-1 <= k*E^Sin[x] <= 1 && -Pi <= x <= Pi,
| | 3: | {k, x}, Reals]] |
[mm] $\((k=-1\land x=\pi )\lor (k=1\land x=\pi )\lor (k=-e\land x=-\frac{\pi }{2})\lor$
[/mm]
[mm] $(k=e\land x=-\frac{\pi }{2})\lor (k=0\land -\pi \leq x\land x\leq \pi )\lor (k=-\frac{1}{e}\land -\pi \leq x\land x\leq \pi )\lor [/mm] $
[mm] $(k=\frac{1}{e}\land -\pi \leq x\land x\leq \pi )\lor (-1
[mm] $(-1
[mm] $(0
[mm] $(\frac{1}{e}
[mm] $(-e
$(k < e [mm] \land 1\leq k\land x\leq \sin ^{-1}(\log (\frac{1}{k}))\land -\sin ^{-1}(\log (\frac{1}{k}))-\pi \leq [/mm] x)$
Da scheint es ja einzelne Punkte zu geben und Überschneidungen...
Na denn viel Vergnügen beim Auseinanderdröseln... 
Peter
|
|
|
| |
|
Hmm ganz ehrlich gesagt kann ich recht wenig mit dieser ellenlangen Auflistung anfangen. Was genau sagt diese aus?
Ich persönlich denke ja immer noch, dass ich einen Fehler mit dem Betrag gemacht habe, den ich nicht finden kann, da sich bei mir bei einer Fallunterscheidung [mm]k<0[/mm] und [mm]k>0[/mm] ein anderer Bereich für k ergibt als beim Betrag. Bei k>0 wäre bei mir k in ]0;e] erlaubt, beim Betrag fehlt jedoch der Teil zw. 0 und 1/e.
Weiterhin hoffend auf jemanden, der mir bei der Fehlersuche hilft :)
Johannes
|
|
|
| |
|
Hi, Arthur,
da die Exponentialfunktion immer positiv ist, kann man bei der Ungleichungskette
-1 [mm] \le k*e^{sin(x)} \le [/mm] 1
2 Fälle unterscheiden:
1.Fall: Für k > 0 muss [mm] k*e^{sin(x)} \le [/mm] 1 sein
(es ist ja immer >0, daher ist es keine Einschränkung, dass der Term [mm] \ge [/mm] -1 sein soll!)
Daraus: [mm] e^{sin(x)} \le \bruch{1}{k} [/mm] <=> sin(x) [mm] \le ln(\bruch{1}{k}) [/mm] = -ln(k)
Nun liegt ja die Sinusfunktion selbst zwischen +1 und -1.
Daher ist diese Ungleichung für k > e nicht lösbar, die Definitionsmenge ist leer.
Umgekehrt wird sie für 0 < k [mm] \le e^{-1} [/mm] trivial, weil immer erfüllt. Die Definitionsmenge ist [mm] \IR.
[/mm]
Sonderfall: k=e. Dann ist sin(x) [mm] \le [/mm] -1 nur durch sin(x) = -1 lösbar.
Die Definitionsmenge wäre: { x = [mm] -\bruch{\pi}{2}+2a*\pi [/mm] mit a [mm] \in \IZ [/mm] }.
(Da hier nur isolierte Punkte herauskommen, wird's wohl kaum als Lösung einer DGL in Frage kommen!)
nur für [mm] e^{-1} [/mm] < k < e ist die Definitionsmenge schwieriger. Es ergibt sich dann ein Intervall, wobei es vom Anfangswert abhängt, welches Intervall zu nehmen ist. Ich gehe mal vom einfachsten Fall aus, also dem ersten Intervall rechts von x=0:
sin(x) [mm] \le [/mm] -ln(k) => D = [mm] [\pi [/mm] - arcsin(-ln(k)) ; [mm] 2\pi [/mm] + arcsin(-ln(k))]
(Die anderen Intervalle ergeben sich jeweils durch Verschiebung um Vielfache von [mm] 2\pi)
[/mm]
Im 2. Fall (k < 0) geht man analog vor:
Hier ist der rechte Teil der Ungleichungskette trivial und daher muss "nur"
[mm] k*e^{sin(x)} \ge [/mm] -1 gelöst werden. Prinzipiell läuft das so wie im 1. Fall!
(Bitte auf Rechenfehler meinerseits achten!)
|
|
|
| |
|
Hallo ihr alle,
da ich jetzt eben erst von meiner Kursfahrt nach Ungarn zurückgekommen bin, konnte ich eure Antworten erst jetzt lesen. Vielen Dank nochmal!
Ursprünglich wollte ich diese Aufgabe in meine Facharbeit einbauen, da ich aber bis zum Abgabezeitpunkt (daher die Begrenzung) noch nicht sicher war, wie das am besten gehen soll, habe ich eine andere genommen.
@Zwerglein: Genau so war auch mein erster Rechenweg! Nur habe ich ganz einfach eine kleine Sache anders gesehen und daher kam der ganze Fragestrang: Du sagst, für [mm] $0
Vielen Dank für die geistigen Anstöße 
Johannes
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Frage 1: Es wundert mich, dass die Funktion ja aber auch
> für ein positives [mm]k<\frac{1}{e}[/mm] existiert. Habe ich
> irgendwo einen Fehler gemacht? Z.B. für [mm]k=\frac{1}{e^2}[/mm]
> existiert die Funktion obwohl ich in den Rechnungen mit |k|
> keinen Fehler finden kann. Bei einer Fallunterscheidung für
> k>0 komme ich auch auf eine andere Definition für k,
> nämlich 0<k<=e ...
ich hab das so gemacht:
[mm]
\begin{gathered}
\left| {k\;e^{\sin \;x} } \right|\; \leqslant \;1 \hfill \\
\left| k \right|\;e^{ - 1} \; \leqslant \;\left| k \right|\;e^{\sin \;x} \; \leqslant \;\left| k \right|\;e^{ + 1} \hfill \\
\Rightarrow \;\left| k \right|\;e^{ - 1} \; \leqslant \;1\; \wedge \;\left| k \right|\;e^{ + 1} \; \leqslant \;1 \hfill \\
\Rightarrow \;\left| k \right|\; \leqslant \;e^{ - 1} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Also diese Forensoftware ist wirklich nicht ganz einfach zu handhaben .... :)
Hallo MathePower,
dein Ansatz leuchtet mir ein, aber das ist ja quasi nur eine Minimaldefinition von |k| oder? Denn k darf, falls es positiv ist, ja ruhig größer als 1/e sein, solange es kleiner als e ist. Die Funktion ist nämlich immer noch definiert, nur nicht mehr für den ganzen Bereich von x. Der Definitionsbereich für x wird dann kleiner, da der Sinus nicht mehr Werte bis eins annehmen darf, wenn ich das richtig sehe (kann mich natürlich irren, bin ja erst in der 12 und noch nicht sehr bewandert in dem Thema). Wenn k=e ist, so ist die Funktion ja [mm]y=\arccos(e^{\sin x + 1})[/mm] und solange der Sinus Werte annimmt, die kleiner oder gleich 0 sind, so ist y durchaus weiterhin eine Lösungsfunktion.
Ich möchte nicht die k-Werte herausfinden, für die die Funktion für ganz R definiert ist, sondern den Definitionsbereich für x je nachdem welche Werte k hat.
Ich hab nur ein Problem, mich hier gut auszudrücken, so dass ich glaube ich vermittle ein falsches Problem :(
Hoffe, ich konnte mich jetzt etwas verständlicher machen und danke schonmal
Johannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 So 08.05.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Johannes!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
| |
|
Hallo Johannes,
es ist zwar wieder spät, aber diesmal habe ich noch nicht die Nacht durchgemacht. Deshalb bin ich auch noch wach genug, eine kleine Idee zu haben:
...
> Das führt, da der Arcsin ebenfalls nur für [mm]-1\leqslant x\leqslant 1[/mm]
> definiert ist, zu Bedingungen für k, und zwar:
> [mm]-\ln |k|\leqslant 1\quad\Rightarrow\quad |k|\geqslant e^{-1}[/mm]
> und [mm]-\ln |k|\geqslant -1\quad\Rightarrow\quad |k|\leqslant e[/mm].
>
...
Hier muss etwas schief gelaufen sein:
Ausgangspunkt war $ [mm] \left| k\cdot e^{\sin x}\right|\leqslant [/mm] 1 $.
Ich finde man sieht eigentlich schnell, dass für [mm] $|k|\leqslant \frac{1}{e}$ [/mm] (weil das wiederum [mm] $\leqslant e^{sin x}$ [/mm] ist) die Ungleichung für alle reellen x erfüllt ist, während für größere k bis einschließlich e der Definitionsbereich bis auf einzelne Punkte schrumpft.
Der Definitionsbereich, aus dem x sein darf, den Du ja eigentlich suchst (laut Deiner Rückfrage an MathePower), ist also für [mm] $e^{-1}<|k|\leqslant [/mm] e$ erst so richtig interessant:
Kritisch wird es zuerst um die Maxima von [mm] $e^{sin(x)}$, [/mm] also von $sin(x)$ herum. Das sind ja die Punkte [mm] $\frac{2 i + 1}{2}\pi,\,i\in\IZ$.
[/mm]
Wenn Du dann noch mal einen scheuen Blick auf die abschreckende computergenerierte Liste wirfst, findest Du den Bereich für die x ziemlich schnell.
$(2 i-1) [mm] \pi -\sin ^{-1}(\log (\frac{1}{|k|}))\leq x\leq [/mm] 2 [mm] \pi i+\sin ^{-1}(\log (\frac{1}{|k|})),\;i\in\IZ$
[/mm]
> Danke schonmal
> Johannes
Gern geschehen,
Peter
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
