Definitionsbereich/Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))
[/mm]
a.) Geben Sie den Definitionsbereich und sämtliche Nullstellen von f an.
b.) Unter Verwendung der Substitution u=ln(x) gebe man eine Stammfunktion von f an. |
Hallo,
hier mein Lösungsansatz:
a.)
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))=\bruch{sin(ln(x))}{x}
[/mm]
Definitionsbereich:
[mm] D=\IR [/mm] \ (0)
Nullstellen:
sin(ln(x))=0
ln(x)=0
x=1
b.) [mm] f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x}*sin(ln(x)) dx}
[/mm]
Substitution:
u=ln(x)
1 du = [mm] \bruch{1}{x}dx
[/mm]
x du = dx
[mm] F(x)=\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x}*sin(u)*x dx}
[/mm]
=-cos(ln(x)+c
Hab ich alles richtig gemacht? Würde mich freuen wenn sich jemand meine Lösungen und vorgehensweise ansehen würde.
mfg
RWBK
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))[/mm]
>
> a.) Geben Sie den Definitionsbereich und sämtliche
> Nullstellen von f an.
> b.) Unter Verwendung der Substitution u=ln(x) gebe man
> eine Stammfunktion von f an.
>
>
> Hallo,
>
> hier mein Lösungsansatz:
> a.)
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))=\bruch{sin(ln(x))}{x}[/mm]
>
> Definitionsbereich:
> [mm]D=\IR[/mm] \ (0)
Hallo,
was ist f(-5)?
>
> Nullstellen:
> sin(ln(x))=0
> ln(x)=0
> x=1
Sicher ist bei x=1 eine Nullstelle.
Aber das ist doch nicht die einzige!
Der Schluß sin(y)=0 ==> y=0 ist verkehrt,
denn die Sinunsfuntion hat ja sehr viel mehr Nullstellen.
Du solltest hier nochmal richtig nachdenken.
>
> b.) [mm]f(x)=\bruch{1}{x}*sin(ln(x))[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x}*sin(ln(x)) dx}[/mm]
>
> Substitution:
> u=ln(x)
> 1 du = [mm]\bruch{1}{x}dx[/mm]
> x du = dx
Soweit i.O.
>
> [mm]F(x)=\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x}*sin(u)*x dx}[/mm]
???
>
> =-cos(ln(x))+c
Das Ergebnis ist richtig, der Aufschrieb ist zu überarbeiten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
ja das mit dem Definitionsbereich ist mir jetzt klar hab nicht beachtet das der ln gar nicht für negative zahlen definiert ist. Hieße also der Definitionsbereich wäre D= [mm] x\varepsilon\IR \{x>0\}
[/mm]
Aber mit der Nullstelle hab ich noch probleme! Ich sehe ein das es noch mehr Nullstellen gibt als x=1 aber ich weiß nicht wie ich sie nachweisen soll. Kann mir jemand dabei helfen/ Tipps geben?
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
|
|
|
| |
|
Hallo RWBK,
> Hallo,
>
> ja das mit dem Definitionsbereich ist mir jetzt klar hab
> nicht beachtet das der ln gar nicht für negative zahlen
> definiert ist. Hieße also der Definitionsbereich wäre D=
> [mm]x\varepsilon\IR \{x>0\}[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber mit der Nullstelle hab ich noch probleme! Ich sehe ein
> das es noch mehr Nullstellen gibt als x=0 aber ich weiß
Du meinst hier doch x=1.
> nicht wie ich sie nachweisen soll. Kann mir jemand dabei
> helfen/ Tipps geben?
Bestimme zunächst die Nullstellen des Sinus.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Ja genau meinte ich! Hab mich dort vertippt.
Die Nullstellen von der Sinusfunktion ist doch immer, für [mm] k\pi [/mm] wobei k eine ganze Zahl ist. [mm] sin(k\pi [/mm] )=0 Das bringt mich ja auch nicht wirklich weiter oder?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 23.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Ja genau meinte ich! Hab mich dort vertippt.
>
> Die Nullstellen von der Sinusfunktion ist doch immer, für
> [mm]k\pi[/mm] wobei k eine ganze Zahl ist. [mm]sin(k\pi[/mm] )=0 Das bringt
> mich ja auch nicht wirklich weiter oder?
Also hast du Nullstellen, wenn [mm] ln(x)=k*\pi.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
das hab ich jetzt leider noch nicht wirklich verstanden. Was bringt mir das den jetzt ? [mm] ln(x)=k\pi [/mm] wo hab ich da denn jetzt nullstellen?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo RWBK,
> Hallo,
>
> das hab ich jetzt leider noch nicht wirklich verstanden.
> Was bringt mir das den jetzt ? [mm]ln(x)=k\pi[/mm] wo hab ich da
> denn jetzt nullstellen?
Löse dazu diese Gleichung nach x auf.
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
das wäre ja dann folgendes oder nicht?
[mm] ln(x)=k\pi
[/mm]
[mm] x=e^{k\pi}
[/mm]
Wären das dann meine weiteren Nullstellen?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo RWBK,
> Hallo,
> das wäre ja dann folgendes oder nicht?
> [mm]ln(x)=k\pi[/mm]
> [mm]x=e^{k\pi}[/mm]
>
> Wären das dann meine weiteren Nullstellen?
Ja, für [mm]k \ge 0, \ k \in \IZ[/mm].
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
|
