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Hallo!
Ich sitze zur Zeit an einem etwas älteren Thema und zwar an der Definition von Monotonie. Zwei Definitionen sind mir bekann: Eine Funktion f heißt genau dann streng monoton steigend, wenn f(x)<f(y) gilt für x<y. Die zweite gemäß Forsters Analysis I ist: Eine Funktion heißt genau dann streng monoton steigend auf [a;b], wenn die erste Ableitung von f größer 0 ist auf [a;b]. Analog dann die anderen Definitionen fallender und nicht streng steigender Monotonie... soweit sogut.
Betrachtet man nun aber das Beispiel [mm] f(x)=x^3 [/mm] so ist per Definition 1 diese streng monoton wachsend, per Definition 2 allerdings nur monoton wachsend, da sie bei x=0 gerade die Steigung 0 hat. Ist das nicht irgendwie ein Widerspruch?? *voll verwirrt bin* ... Auf einer anderen Webseite wurde schon erklärt, dass dies ja nur in einem Punkt der Fall ist, aber per Definition von Forster reicht das ja schon aus, damit eine Funktion nicht streng monoton ist.
Bitte helft mir weiter...
Danke schonmal im voraus
ciao
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo beutelspacher!
Erst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") , auch wenn es nicht so gut ist, dass du den Nick belegt hast (ich hoffe nämlich immer noch, dass sich "der echte" bald mal anmeldet  ).
> Ich sitze zur Zeit an einem etwas älteren Thema und zwar
> an der Definition von Monotonie. Zwei Definitionen sind mir
> bekann: Eine Funktion f heißt genau dann streng monoton
> steigend, wenn f(x)<f(y) gilt für x<y.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So kenne ich es auch.
>Die zweite gemäß
> Forsters Analysis I ist: Eine Funktion heißt genau dann
> streng monoton steigend auf [a;b], wenn die erste Ableitung
> von f größer 0 ist auf [a;b].
Leider habe ich den Forster I nicht hier. Bist du dir sicher, dass dies dort die Definition ist? Das wäre allerdings sehr seltsam... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Analog dann die anderen
> Definitionen fallender und nicht streng steigender
> Monotonie... soweit sogut.
> Betrachtet man nun aber das Beispiel [mm]f(x)=x^3[/mm] so ist per
> Definition 1 diese streng monoton wachsend, per Definition
> 2 allerdings nur monoton wachsend, da sie bei x=0 gerade
> die Steigung 0 hat. Ist das nicht irgendwie ein
> Widerspruch?? *voll verwirrt bin* ... Auf einer anderen
> Webseite wurde schon erklärt, dass dies ja nur in einem
> Punkt der Fall ist, aber per Definition von Forster reicht
> das ja schon aus, damit eine Funktion nicht streng monoton
> ist.
> Bitte helft mir weiter...
> Danke schonmal im voraus
> ciao
Also, es gilt Folgendes:
1) Gilt für eine differenzierbare Funktion $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] die Ungleichung $f'(x)>0$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$, so ist $f$ streng monoton steigend. Die Umkehrung gilt nicht, wie dein Gegenbeispiel zeigt.
2) Genau dann, wenn für eine differenzierbare Funktion $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] die Ungleichung $f'(x)>0$ für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ gilt, ist $f$ monoton steigend.
Wenn der Forster das so definiert wie von dir angegeben, benutzt er den Begriff also anders.
Viele Grüße
Stefan
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Hi!
Erstmal danke für die schnelle Antwort. Habe nochmal nachgeschaut und eine Ungenauigkeit meinerseits festgestellt, die aber die Definitionsfrage (zumindest für mich) immer noch offen lässt. Ich zitiere also wortwörtlich aus dem Forster: Ist f:(a, b) [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar so gilt:
f'>0 in (a, b)=> f wächst in (a, b) streng monoton.
f'>=0 in (a, b) <=> f wächst in (a, b) monoton .
Das tut aber nichts zur Sache, oder? Es sind dann immer noch zwei unterschiedliche Definitionen von Monotonie, oder?
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Holla.
Wer lesen kann ist klar im Vorteil....  Ich hab die Implikation offensichtlich gar nicht bemerkt und gleich als Äquivalenz gelesen LOL. Naja, shit happenz. Danke für deine Hilfe.
Ciao
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