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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Dunbi |
Hallo Community,
die Definition für eine Funktion ist ja (umgangssprachlich...): Jedes x hat maximal ein y.
Nun als Beispiel:
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
f(9)=+-3
Also ist die Bedingung für eine Funktion nicht gegeben (ein x hat ja zwei y).
Auch bei negativen Zahlen ist die Funktionseigenschaft nicht gegeben, da alle -x KEIN y haben.
Vielleicht könnt ihr mir helfen - Allgemein gilt [mm] \wurzel{x} [/mm] ja als Funktion.
Dunbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Community,
>
> die Definition für eine Funktion ist ja
> (umgangssprachlich...): Jedes x hat maximal ein y.
nicht maximal, sondern genau. Besser: Für jedes $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gibt es genau einen Wert $f(x)$ aus dem Zielbereich von $f$.
> Nun als Beispiel:
> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> f(9)=+-3
> Also ist die Bedingung für eine Funktion nicht gegeben
> (ein x hat ja zwei y).
Nein. Das ist ein Standardfehler, den man einmal, aber auch bitte nur einmal machen darf. Die Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl $x$ ist definiert als diejenige nichtnegative Zahl $y$, für die gilt: [mm] $y^2=x\,.$ [/mm] Es gilt zwar in der Tat (für $y [mm] \in \IR$), [/mm] dass [mm] $y^2=9 \gdw y=\pm 3\,,$ [/mm] aber diese Gleichung ist etwas anderes als die Gleichung [mm] $y=\sqrt{9}\,.$ [/mm] Es ist [mm] $\sqrt{9}=3\,.$ ($\sqrt{9}=\pm [/mm] 3$ ist falsch, da $y=-3$ nicht geht, da $-3 < [mm] 0\,,$ [/mm] also $-3$ ist eben nicht nichtnegativ bzw. m.a.W.: $-3$ ist negatiiv).
Mit anderen Worten:
Du kannst schreiben:
[mm] $y^2=9$ $\gdw$ $y=\pm \sqrt{9}=\pm 3\,.$
[/mm]
Aber Du darfst nur schreiben:
[mm] $\sqrt{9}=3\,.$ [/mm] Total falsch ist die Behauptung [mm] $\sqrt{9}=\pm [/mm] 3$ (das würde ja eben heißen, dass sowohl [mm] $\sqrt{9}=3$ [/mm] als auch [mm] $\sqrt{9}=-3$ [/mm] wäre).
> Auch bei negativen Zahlen ist die Funktionseigenschaft
> nicht gegeben, da alle -x KEIN y haben.
Was meinst Du genau? Ich schätze mal, Du meinst, dass die Funktion $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ definiert ist? Das ist aber ein Problem des Definitionsbereiches. Für eine Zahl $x < 0$ gibt es eben kein $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x=y^2\,.$ [/mm]
Bei $x > 0$ hat man erstmal das Problem, dass es eben genau zwei $y$ gibt, so dass [mm] $y^2=x\,,$ [/mm] es gibt da nämlich ein [mm] $y_1 [/mm] > 0$ und ein [mm] $y_2 [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm] Dieses Problem wird allerdings so gelöst, dass man nur die nichtnegativen $y$'s nimmt, also grob gesagt, in meiner Notation die [mm] "$y_1$'s". [/mm]
> Vielleicht könnt ihr mir helfen - Allgemein gilt [mm]\wurzel{x}[/mm]
> ja als Funktion.
Es ist ja auch eine. Genauer gilt:
[mm] $\sqrt{\cdot}\;: \{x \in \IR: x \ge 0\}=:\IR_{\ge 0} \to \IR_{\ge 0}\,,$ [/mm] wobei für $x [mm] \ge [/mm] 0$ dann [mm] $\sqrt{x} \ge [/mm] 0$ per Definitionem von [mm] $\sqrt{\cdot}\,.$
[/mm]
Du setzt hier [mm] $\sqrt{x}=y$ [/mm] gleich mit [mm] $x=y^2\,.$ [/mm] Es gilt aber nur, sofern $x [mm] \ge [/mm] 0$:
[mm] $y=\sqrt{x}$ $\gdw$ $y^2=x$ \text{ und } [/mm] $y [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Also:
[mm] $\sqrt{25}=5\,,$ $\sqrt{36}=6\,,$ [/mm] ...
Aber:
Die Gleichung [mm] $x^2=25$ [/mm] hat (in [mm] $\IR$) [/mm] die Lösungen [mm] $x_{1,2}=\pm \sqrt{25}=\pm [/mm] 5$...
Also [mm] $x^2=25$ [/mm] ist nicht gleichwertig mit [mm] $x=\sqrt{25}\,.$ [/mm] Was aber wiederum gilt:
[mm] $\bullet$ $x^2=25$ [/mm] und $x [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\gdw$ $x=\sqrt{25}=5\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $x^2=25$ [/mm] und $x [mm] \le [/mm] 0$ [mm] $\gdw$ $x=-\sqrt{25}=-5\,.$
[/mm]
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Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Di 11.11.2008 | | Autor: | Dunbi |
Hallo Marcel,
> Mit anderen Worten:
> Du kannst schreiben:
> [mm]y^2=9[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y=\pm \sqrt{9}=\pm 3\,.[/mm]
>
> Aber Du darfst nur schreiben:
> [mm]\sqrt{9}=3\,.[/mm] Total falsch ist die Behauptung [mm]\sqrt{9}=\pm 3[/mm]
> (das würde ja eben heißen, dass sowohl [mm]\sqrt{9}=3[/mm] als auch
> [mm]\sqrt{9}=-3[/mm] wäre).
>
Und was wäre so schlimm, wenn man [mm] \sqrt{9}=-3 [/mm] sagt? Schließlich ist -3 quadriert ja 9 und man würde nur gegen die Definition verstoßen.
Ansonsten alles super erklärt und verstanden, danke.
Dunbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dunbi!
> Und was wäre so schlimm, wenn man [mm]\sqrt{9}=-3[/mm] sagt?
> Schließlich ist -3 quadriert ja 9 und man würde nur gegen
> die Definition verstoßen.
"nur" ist gut! 
Mit Deinem letzte Satz hast Du natürlich Recht; aber das hat wenig mit der Wurzelfunktion zu tun, da diese als "Funktion" eindeutig (also mit nur einem Funktionswert) definiert wurde.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Di 11.11.2008 | | Autor: | Dunbi |
Also habe ich doch recht und Wurzel x ist im Definitions- und Wertebereich der Reellen Zahlen keine Funktion?
Nur, wenn der Wertebereich >=0 und der Defber. >=0 sind, ist es eine Funktion?
Aber da der zweite Satz (ohne die nötige besondere Hinweisung in Büchern) die Definition einer "Wurzelfunktion" ist, ist das Problem beseitigt?
Oder eher: weil wir als Funktion nur einen y-Wert definiert haben, lassen wir den anderen nicht zu? Warum nehmen wir dann aber nicht nur die negativen?
Dunbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt 2 verschiedene Funktionen y=x und y=-x
die fkt [mm] $y=\pm [/mm] x$ gibt es nicht.
Es gibt die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] und die funktion [mm] f(x)=-\wurzel{x} [/mm] nicht aber die funktion [mm] f(x)=\pm\wurzel{x}
[/mm]
Irgendwann haette man ja auch mal verabreden koennen, dass vor allen positiven Zahlen ein - stehem muss ! wenn sich alle dran hielten, wuerden sich die Rechenregeln nicht aendern. Aber die verabredung ist eben, dass 2 ne positive Zahl ist, auch wenn kein + davorsteht, und -2 ne negative.
Wenn du fragst warum man fuer 2*2*2 [mm] 2^3 [/mm] schreibt und nicht [mm] 2_3 [/mm] oder 2h3 dann gibts da auch keine antwort zu!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Di 11.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dunbi,
> Also habe ich doch recht und Wurzel x ist im Definitions-
> und Wertebereich der Reellen Zahlen keine Funktion?
nein. Der Term [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist für reelles $x$ (erstmal) nur definiert, wenn $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm]
(Das ändert sich übrigens, wenn man ins komplexe übergeht!)
Was ich damit sagen will: Wenn Du irgendwo eine Funktion [mm] $g(x):=\sqrt{x}$ [/mm] definierst, dann darf es (zunächst) nicht so sein, dass $x$ negativ. Denn erstmal wollen wir auf jeden Fal haben, dass [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] für eine relle Zahl auch wieder eine relle Zahl ist, und dazu benötigt man $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Dass man [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] definiert, ist deshalb so, weil dies der (zunächst) maximale Definitionsbereich für [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] ist. (Nimmt man irgendeine Teilmenge $Z [mm] \subseteq \IR$, [/mm] so dass [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ in [mm] $\IR$ [/mm] existiert , so gilt $Z [mm] \subseteq \IR_{\ge 0}$; [/mm] in diesem Sinne ist das "maximal".)
> Nur, wenn der Wertebereich >=0 und der Defber. >=0 sind,
> ist es eine Funktion?
Nein, nicht "nur". Denn: Dass nun [mm] $\sqrt{\cdot}: \IR_{\ge 0} \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] ist, liegt daran, dass man für $x [mm] \ge [/mm] 0$ vereinbart hat:
[mm] $\sqrt{x}$ [/mm] sei diejenige nichtnegative Zahl (also [mm] $\sqrt{x} \ge [/mm] 0$) mit der Eigenschaft, dass [mm] $\sqrt{x}^{\,2}=x\,.$
[/mm]
Man hätte auch vereinbaren können, dass man z.B. sagt (ich führe mal das Symbol "gespiegelte Wurzel" ein (das ist nur ein selbst erfundener Begriff) und schreibe dafür [mm] $S-\sqrt{\cdot}$ [/mm] (Spiegel-Wurzel)):
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ sei [mm] $S-\sqrt{x}$ [/mm] diejenige nichtpositive Zahl, deren Quadrat $x$ ergibt. Also: $x [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $S-\sqrt{x}=-\sqrt{x}\,.$
[/mm]
Dann wäre [mm] $S-\sqrt{\cdot}\;:\;\IR_{\ge 0} \to \IR_{\le 0}\,.$ [/mm] Hier wäre [mm] $S-\sqrt{\cdot}=-\sqrt{\cdot}\,.$
[/mm]
Beide Funktion [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] und [mm] $S-\sqrt{\cdot}$ [/mm] sind in gewisser Weise die naheliegendsten. Man sollte sich halt auf eine der beiden einigen und die dann auch "Wurzelfunktion" nennen, und nach Definition der Wurzel ist das nun eben die [mm] $\sqrt{\cdot}\,,$ [/mm] und nicht [mm] $S-\sqrt{\cdot}\,.$
[/mm]
Ganz "bekloppt" kann man ja auch noch sowas definieren:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}, & \mbox{für } x \in [r,r+1) \mbox{ mit einem geraden } r \in \IN_0 \\ -\sqrt{x}, & \mbox{für } x \in [s,s+1) \mbox{ mit einem ungeraden } s \in \IN_0\,.\end{cases}$
[/mm]
Das wäre auch eine Funktion [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR\,$ [/mm] so dass [mm] $(f(x))^2=x$ [/mm] für alle $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Die wäre allerdings etwas "unschön" (alleine schon wegen der vielen Sprungstellen). Es gibt also eigentlich sehr viele Funktionen [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $(f(x))^2=x$ [/mm] für alle $x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] aber nur zwei davon sind in einem gewissen Sinne "wirklich schön". Und da nimmt man halt die mit den nichtnegativen Funktionswerten.
> Aber da der zweite Satz (ohne die nötige besondere
> Hinweisung in Büchern) die Definition einer
> "Wurzelfunktion" ist, ist das Problem beseitigt?
> Oder eher: weil wir als Funktion nur einen y-Wert
> definiert haben, lassen wir den anderen nicht zu? Warum
> nehmen wir dann aber nicht nur die negativen?
Könnte man auch. Aber dann kannst Du genausogut fragen: Warum definieren wir nicht [mm] $\sqrt{x}:=\sqrt{-x}$ [/mm] für alle $x [mm] \le [/mm] 0$? Dann wäre [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] definiert. Könnte man machen, aber später arbeitet man irgendwann mit komplexen Zahlen und da hätte man hier z.B. etwas Probleme, weil man gerne [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] dort so hätte, dass [mm] $\sqrt{-1}^{\,2}=-1$ [/mm] gilt.
Rein theoretisch könntest Du auch die [mm] $S-\sqrt{\cdot}$ [/mm] als Wurzelfunktion bezeichnen, aber auch in der Mathematik gibt es gewisse ![[]](/images/popup.gif) Konventionen. Das wäre genauso schlecht (im Sinne von verwirrend), wie wenn jemand einen Beweis so schreibt:
Sei $n > 0$ und [mm] $\varepsilon \in \IN\,.$... [/mm] dann gilt bei $n [mm] \to [/mm] 0$ und [mm] $\varepsilon \to \infty...$
[/mm]
Dazu gibt es übrigens einen schönen Artikel:
http://www.math.uga.edu/~azoff/courses/halmos.pdf
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Dunbi |
Danke für die Antworten. Ich habe es nu verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ich dich mit nem falschen namen anspreche, oder von dir unter nem anderen namen rede, sollte ich mich nicht wundern, dass du mir nicht zuhoerst, oder die anderen mich nicht verstehen. "schlimm waer das nicht, weil ich ja "dich" meine!
Aber was zu verwenden, was nicht abgemacht ist, und zu Irrtuemern fuehrt ist nicht sehr sinnvoll.
Deine schreibweise wuerde auch sagen [mm] -\wurzel{9}=+3 [/mm] .
[mm] 2=\wurzel{4} [/mm] mit deiner schreibweise [mm] :2=-\wurzel{4}also [/mm] 2=-2 so Unsinn kommt auf die Dauer raus.
Gruss leduart
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