Definition unklar < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
wir haben eine partielle Differentialgleichung als Gleichung der Form [mm]F(x,u,\nabla u,\nabla^2 u,\ldots,\nabla^m u)=0[/mm] definiert, wobei [mm]u:\Omega\subset\IR^n\to\IR, \Omega[/mm] ein Gebiet ist.
Hier soll [mm]\nabla u=\vektor{\frac{\partial}{\partial x_1}u\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial x_n}u}[/mm] , [mm]\nabla^2 u=\pmat{\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u\\ \vdots{} \ ... \ \vdots{}\\\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u}[/mm] "usw".
Und genau hier kommt meine Frage:
Wie genau ist [mm]\nabla^3 u[/mm] zu verstehen?
Wie genau sind die gemischten Ableitungen in der Matrix "verteilt"?
Könnte mir bitte jemand [mm]\nabla^3 u[/mm] und [mm]\nabla^4 u[/mm] skizzieren?
Besten Dank vorab!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> wir haben eine partielle Differentialgleichung als
> Gleichung der Form [mm]F(x,u,\nabla u,\nabla^2 u,\ldots,\nabla^m u)=0[/mm]
> definiert, wobei [mm]u:\Omega\subset\IR^n\to\IR, \Omega[/mm] ein
> Gebiet ist.
>
> Hier soll [mm]\nabla u=\vektor{\frac{\partial}{\partial x_1}u\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial x_n}u}[/mm]
> , [mm]\nabla^2 u=\pmat{\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u\\ \vdots{} \ ... \ \vdots{}\\\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u}[/mm]
> "usw".
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> Und genau hier kommt meine Frage:
>
> Wie genau ist [mm]\nabla^3 u[/mm] zu verstehen?
>
> Wie genau sind die gemischten Ableitungen in der Matrix
> "verteilt"?
>
> Könnte mir bitte jemand [mm]\nabla^3 u[/mm] und [mm]\nabla^4 u[/mm]
> skizzieren?
>
> Besten Dank vorab!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
hallo schachuzipus,
ich würde [mm] $\nabla^2 [/mm] u$ nicht als eine matrixwertige Funktion auffassen, sondern als eine Funktion, die Werte im [mm] \IR^{n^2} [/mm] annimmt.
Dann ist [mm] $\nabla^3 [/mm] u$ eine Funktion , die Werte im [mm] \IR^{n^3} [/mm] annimmt.
usw....
Schau mal hier,
http://www.math.uni-hamburg.de/home/struckmeier/pde0506/Kap1.pdf
auf Seite 1.
Gruß FRED
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Hallo Fred,
> > Hallo zusammen,
> >
> > wir haben eine partielle Differentialgleichung als
> > Gleichung der Form [mm]F(x,u,\nabla u,\nabla^2 u,\ldots,\nabla^m u)=0[/mm]
> > definiert, wobei [mm]u:\Omega\subset\IR^n\to\IR, \Omega[/mm] ein
> > Gebiet ist.
> >
> > Hier soll [mm]\nabla u=\vektor{\frac{\partial}{\partial x_1}u\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial x_n}u}[/mm]
> > , [mm]\nabla^2 u=\pmat{\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u\\ \vdots{} \ ... \ \vdots{}\\\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u}[/mm]
> > "usw".
> >
> > Und genau hier kommt meine Frage:
> >
> > Wie genau ist [mm]\nabla^3 u[/mm] zu verstehen?
> >
> > Wie genau sind die gemischten Ableitungen in der Matrix
> > "verteilt"?
> >
> > Könnte mir bitte jemand [mm]\nabla^3 u[/mm] und [mm]\nabla^4 u[/mm]
> > skizzieren?
> >
> > Besten Dank vorab!
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
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> hallo schachuzipus,
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> ich würde [mm]\nabla^2 u[/mm] nicht als eine matrixwertige
> Funktion auffassen, sondern als eine Funktion, die Werte im
> [mm]\IR^{n^2}[/mm] annimmt.
>
> Dann ist [mm]\nabla^3 u[/mm] eine Funktion , die Werte im
> [mm]\IR^{n^3}[/mm] annimmt.
>
> usw....
>
> Schau mal hier,
>
> http://www.math.uni-hamburg.de/home/struckmeier/pde0506/Kap1.pdf
Jo, das deckt sich mit "Lawrence".
Aber wie ist dann "unser" [mm] $\nabla^2 [/mm] u$ zu verstehen?
Das ist doch eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix und kein Vektor aus dem [mm] $\IR^{n^2}$ [/mm] ...
Wie würde in "unserer" Schreibweise denn [mm] $\nabla^3 [/mm] u$ aussehen?
Irgendwie ist das komisch ...
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>
> auf Seite 1.
>
> Gruß FRED
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > wir haben eine partielle Differentialgleichung als
> > > Gleichung der Form [mm]F(x,u,\nabla u,\nabla^2 u,\ldots,\nabla^m u)=0[/mm]
>
> > > definiert, wobei [mm]u:\Omega\subset\IR^n\to\IR, \Omega[/mm] ein
> > > Gebiet ist.
> > >
> > > Hier soll [mm]\nabla u=\vektor{\frac{\partial}{\partial x_1}u\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial x_n}u}[/mm]
>
> > > , [mm]\nabla^2 u=\pmat{\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u\\ \vdots{} \ ... \ \vdots{}\\\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} u \ ... \ \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u}[/mm]
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> > > "usw".
> > >
> > > Und genau hier kommt meine Frage:
> > >
> > > Wie genau ist [mm]\nabla^3 u[/mm] zu verstehen?
> > >
> > > Wie genau sind die gemischten Ableitungen in der
> Matrix
> > > "verteilt"?
> > >
> > > Könnte mir bitte jemand [mm]\nabla^3 u[/mm] und [mm]\nabla^4 u[/mm]
> >
> > skizzieren?
> > >
> > > Besten Dank vorab!
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
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> >
> > hallo schachuzipus,
> >
> > ich würde [mm]\nabla^2 u[/mm] nicht als eine matrixwertige
> > Funktion auffassen, sondern als eine Funktion, die Werte
> im
> > [mm]\IR^{n^2}[/mm] annimmt.
> >
> > Dann ist [mm]\nabla^3 u[/mm] eine Funktion , die Werte im
> > [mm]\IR^{n^3}[/mm] annimmt.
> >
> > usw....
> >
> > Schau mal hier,
> >
> >
> http://www.math.uni-hamburg.de/home/struckmeier/pde0506/Kap1.pdf
>
> Jo, das deckt sich mit "Lawrence".
>
> Aber wie ist dann "unser" [mm]\nabla^2 u[/mm] zu verstehen?
>
> Das ist doch eine [mm]n\times n[/mm]-Matrix und kein Vektor aus dem
> [mm]\IR^{n^2}[/mm] ...
Schreibe die Zeilen dieser [mm]n\times n[/mm]-Matrix nicht untereinander, sondern nebeneinander !
>
> Wie würde in "unserer" Schreibweise denn [mm]\nabla^3 u[/mm]
> aussehen?
Wie bei [mm]\nabla^2 u[/mm] , nur noch schlimmer: ein Vektor mit [mm] n^3 [/mm] Einträgen.
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> Irgendwie ist das komisch ...
Jo, unter anderem deswegen mag ich partielle Differentialgleichungen auch nicht so besonders...
Gruß FRED
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> > auf Seite 1.
> >
> > Gruß FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Aufgabe | Bah, ich komme nicht klar.
Bin zu dumm!
Du meinst so:
[mm]\nabla^2 u=\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u,...,\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n}u,.......,\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n}u,...,\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u\right)[/mm] ??
Das wäre dann ein Vektor mit [mm]n^2[/mm] Einträgen ...
Dennoch weiß ich nicht, wie etwa der zweite Eintrag in [mm]\nabla^3 u[/mm] aussehen soll:
[mm]\nabla^3 u=\left(\frac{\partial^3}{\partial x_1^3}u,\red{\Box},...\right)[/mm]
Was muss da hin?
[mm]\frac{\partial^3}{\partial x_1^2\partial x_2}[/mm] ?
Und im nächsten Eintrag [mm]\frac{\partial^3}{\partial x_1^2\partial x_3}[/mm] ?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bah, ich komme nicht klar.
Ruhig Blut !
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> Bin zu dumm!
Unsinn !
>
> Du meinst so:
>
> [mm]\nabla^2 u=\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u,...,\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n}u,.......,\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n}u,...,\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}u\right)[/mm]
> ??
>
> Das wäre dann ein Vektor mit [mm]n^2[/mm] Einträgen ...
ja
>
> Dennoch weiß ich nicht, wie etwa der zweite Eintrag in
> [mm]\partial^3 u[/mm] aussehen soll:
>
> [mm]\partial^3 u=\left(\frac{\partial^3}{\partial x_1^3}u,\red{\Box},...\right)[/mm]
>
> Was muss da hin?
Ich denke das ist gar nicht so wichtig. Mach Dich deswegen nicht kirre.
Die Schreibweise
$ [mm] F(x,u,\nabla u,\nabla^2 u,\ldots,\nabla^m [/mm] u)=0 $
soll nur andeuten, dass die Variable x, die Funktion u und ihre partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m eine gewisse Gleichung erfüllen sollen, eben eine partielle Differentialgleichung.
Z.B.: bei 2 Variablen und m=3:
[mm] $x*u(x,y)+3*u_x(x,y)-2u_{xy}(x,y)*u_{xxy}(x,y)-37=0$
[/mm]
Gruß FRED
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> [mm]\frac{\partial^3}{\partial x_1^2\partial x_2}[/mm] ?
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> Und im nächsten Eintrag [mm]\frac{\partial^3}{\partial x_1^2\partial x_3}[/mm]
> ?
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
danke dir.
Dann soll das "nur" heißen, dass alle möglichen gemischten partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m auftreten können ...
Bestens, damit kann ich mich anfreunden!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> danke dir.
>
> Dann soll das "nur" heißen, dass alle möglichen
> gemischten partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m
> auftreten können ...
Ja, so ist das.
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> Bestens, damit kann ich mich anfreunden!
Mir fällt ein Stein vom Herzen !
Gruß FRED
>
> Gruß
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> schachuzipus
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