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Hallo,
ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem zum Thema Randpunkt.
Also in meinem Buch ist die offene Kugel mit dem Mittelpunkt a und Radius r bezüglich der Metrix d wie folgt definiert:
(X, d) metrischer Raum, a [mm] \in [/mm] X, r > 0 dann:
[mm] B_r(x) [/mm] := [mm] \{x \in X : d(a, x) < r\}
[/mm]
Okay - soweit alles klar.
Nun unsere Definition von Umgebung eines Punktes:
X metrischer Raum, U [mm] \subset [/mm] X, x [mm] \in [/mm] X. U Umgebung von x [mm] \gdw [/mm] es existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] U.
Auch wunderbar. Nun kommt die Definition des Randpunktes, mit dem ich meine Probleme habe:
X metrischer Raum und Y [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge und x [mm] \in [/mm] X. x Randpunkt von Y wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein Punkt von Y als auch ein Punkt von X [mm] \backslash [/mm] Y liegt.
Wie das bildlich aussieht ist mir klar. Nur wie ich diese Definition richtig ausdrücke. Mit "Umgebung von x" ist ja nicht eine "einfache" Epsilonumgebung gemeint sondern eben eine Umgebung des Punktes x. Für diese Umgebungen gilt [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] Y. Kann ich die Definition dann einfach so schreiben:
x Randpunkt Y [mm] \gdw B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] Y [mm] \not= \emptyset [/mm] und [mm] B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] X [mm] \backslash [/mm] Y [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Aber die Definition fordert ja explizit Umgebungen von x und ich habe mit Kugeln um x gearbeitet...
Wie lautet also die Definition des Randpunktes in Formeln?
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> Hallo,
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> ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem zum Thema
> Randpunkt.
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> Also in meinem Buch ist die offene Kugel mit dem
> Mittelpunkt a und Radius r bezüglich der Metrix d wie folgt
> definiert:
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> (X, d) metrischer Raum, a [mm]\in[/mm] X, r > 0 dann:
>
> [mm]B_r(x)[/mm] := [mm]\{x \in X : d(a, x) < r\}[/mm]
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> Okay - soweit alles klar.
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> Nun unsere Definition von Umgebung eines Punktes:
> X metrischer Raum, U [mm]\subset[/mm] X, x [mm]\in[/mm] X. U Umgebung von x
> [mm]\gdw[/mm] es existiert ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so dass
> [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] U.
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> Auch wunderbar. Nun kommt die Definition des Randpunktes,
> mit dem ich meine Probleme habe:
>
> X metrischer Raum und Y [mm]\subset[/mm] X eine Teilmenge und x [mm]\in[/mm]
> X. x Randpunkt von Y wenn in jeder Umgebung von x sowohl
> ein Punkt von Y als auch ein Punkt von X [mm]\backslash[/mm] Y
> liegt.
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> Wie das bildlich aussieht ist mir klar. Nur wie ich diese
> Definition richtig ausdrücke. Mit "Umgebung von x" ist ja
> nicht eine "einfache" Epsilonumgebung gemeint sondern eben
> eine Umgebung des Punktes x. Für diese Umgebungen gilt
> [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] Y. Kann ich die Definition dann
> einfach so schreiben:
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> x Randpunkt Y [mm]\gdw B_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] Y [mm]\not= \emptyset[/mm]
> und [mm]B_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] X [mm]\backslash[/mm] Y [mm]\not= \emptyset[/mm]
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> Aber die Definition fordert ja explizit Umgebungen von x
> und ich habe mit Kugeln um x gearbeitet...
Das ist auch richtig so, weil ja eben daraus, dass zu jeder Umgebung $U$ von $x$ eine offene Kugel [mm] $B_\varepsilon(x)\subseteq [/mm] U$ existiert, folgt, dass falls alle [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] zugleich $Y$ und [mm] $X\backslash [/mm] Y$ schneiden, das selbe auch für alle Umgebungen von $x$ gilt. Da aber auch die [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] Umgebungen von $x$ sind, folgt aus einem Beweis, dass jede Umgebung $U$ von $x$ sowohl $Y$ als auch [mm] $X\backslash [/mm] Y$ schneidet, dass dies auch für die [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] gilt.
> Wie lautet also die Definition des Randpunktes in Formeln?
Mit der Umgebungsbasis der [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] formuliert wohl so
[mm]x\text{ ist Randpunkt von } Y :\Leftrightarrow\forall \varepsilon >0\big(B_\varepsilon(x)\cap Y\neq \emptyset \;\wedge\; B_\varepsilon(x)\cap (X\backslash Y)=\emptyset\big)[/mm]
Mit Umgebungen von $x$ formuliert so
[mm]x\text{ ist Randpunkt von } Y :\Leftrightarrow\forall \text{ Umgebungen } U \text{ von } x \big(U\cap Y\neq \emptyset \;\wedge\; U\cap (X\backslash Y)=\emptyset\big)[/mm]
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