Definitheit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:17 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Ksenka |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Seien A, B (n, n)- Matrizen und C eine (m, n)- Matrix. zu zeigen ist:
(i) A pd (positiv definit) und B nnd (nicht-negativ definit) => A + B pd
(ii) A nnd => CA(C(Transponiert)) nnd
(iii) A pd und Rg(C) = m => CA(C(Transponiert)) pd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 06.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ksenka,
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
>
> Seien A, B (n, n)- Matrizen und C eine (m, n)- Matrix. zu
> zeigen ist:
> (i) A pd (positiv definit) und B nnd (nicht-negativ
> definit) => A + B pd
Ich helfe dir jetzt bei der (i) (zu den anderen habe ich mir auch noch keine Gedanken gemacht), und wir warten weiter noch auf eine Reaktion deinerseits!
Dabei gehe ich einfach einmal davon aus, dass die Einträge der Matrizen komplexe Zahlen sind, d.h. $A,B [mm] \in \IC^{\ nxn}$...
[/mm]
Sei $x [mm] \in \IC^n-\{0\}$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann folgt:
[mm]\overline{x}^T*(A+B)*x=\underbrace{\overline{x}^T*A*x}_{> 0,\ da\ A\ pd}+\underbrace{\overline{x}^T*B*x}_{\ge 0,\ da\ B\ nnd} > 0[/mm].
Da $x [mm] \in \IC^n-\{0\}$ [/mm] beliebig war, ist $A+B$ pd.
(Beachte auch:
Es gilt [mm] $(A+B)^T=A^T+B^T=\overline{A}+\overline{B}=\overline{A+B}$, [/mm] d.h. aus $A,B$ hermitesch folgt: $A+B$ hermitesch (und es ist natürlich auch $A+B [mm] \in \IC^{\ nxn}$, [/mm] wenn $A,B [mm] \in \IC^{\ nxn}$).) [/mm]
(Ich kenne und benutzte folgende Definition(en):
1.) Eine (hermitesche) Matrix $C [mm] \in \IC^{\ nxn}$ [/mm] heißt pd genau dann, wenn für alle [m]x \in \IC^n-\{0\}[/m] gilt:
[mm]\overline{x}^T*C*x > 0[/mm].
Sie heißt positiv semidefinit (oder nicht-negativ definit) genau dann, wenn [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IC^n$ [/mm] gilt:
[mm]\overline{x}^T*C*x \ge 0[/mm].
Ist dir dieses bekannt?
2.) Bemerkung: Eine Matrix $C [mm] \in \IC^{\ nxn}$ [/mm] heißt hermitesch genau dann, wenn gilt: [mm]C^T=\overline{C}[/mm].)
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Di 06.07.2004 | | Autor: | Ksenka |
vielen Dank für deine Hilfe , eigentlich waren die Einträge der
Matrizen reelle Zahlen aber dein Einsatz war schon richtig. noch mal vielen Dank.
Mit freundlichen Grüßen
Ksenka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Di 06.07.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ksenka,
die Übertragung meiner Rechnung auf reellwertige (symmetrische) positiv definite Matrizen (und nnd etc.) hast du also hinbekommen. Falls nicht, dann ist es auch nicht schlimm, denn meine Rechnung schließt diese ja nicht aus! Ist also etwas allgemeiner! 
Wie sieht es denn mit den anderen Aufgaben aus? Hast du irgendwelche Ideen dazu? Oder hast du sie bereits gelöst und benötigst aufgrunddessen unsere Hilfe nicht weiter?
Falls dem so sein sollte, so kannst du uns deine Lösung ja mal posten, dann können wir sie mal kontrollieren, falls du das möchtest!
Wir erwarten jedenfalls etwas Eigeninitiative deinerseits (so wie du 'erwartest', dass wir dir bei deinen Aufgaben helfen ), gegebenenfalls kannst du ja kurz aufzählen, welche Ideen du bisher dazu hattest und an welcher Stelle du nicht weitergekommen bist, falls du die Aufgaben noch nicht komplett gelöst hast...
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ksenka,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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> Seien A, B (n, n)- Matrizen und C eine (m, n)- Matrix. zu
> zeigen ist:
> (i) A pd (positiv definit) und B nnd (nicht-negativ
> definit) => A + B pd
> (ii) A nnd => CA(C(Transponiert)) nnd
> (iii) A pd und Rg(C) = m => CA(C(Transponiert)) pd
Erinnerung
Viele Grüße,
Marc
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