Def. und Wertebereich Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel93 |
| Aufgabe | | Allgemein für m,n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \IR^m^x^n [/mm] := { A | A ist m x n-Matrix}. Gegeben sei ein fester Vektor x [mm] \in \IR^l. [/mm] Für eine Matrix A mit k Zeilen und Spalten a, sei eine Abbildung f def. durch f(A) = Ax. geben Sie für f den Definitionsbereich D, den Wertebereich W und die Bildmenge f(D) an. Achten Sie auf das, was gefragt ist. |
Hallo Mathe-Forum,
bei der gegebenen Aufgabe, habe ich einige Probleme. Ich verstehe nicht ganz, wie man bei der Aufgabe auf den Definitionsbereich, auf den Wertebereich und auf die Bildmenge kommt. Ich weiß zwar was diese Begriffe bedeuten, weiß jetzt aber nicht wie ich bei einer Matrix auf diese Werte komme. Die Lösung für diese Aufgabe habe ich mir auch schon besorgt, weiß aber trotzdem nicht weiter. Ich müsste wissen, wie man sich diese ganzen Werte herleitet. Hab morgen in der Uni ein kleines Mathe-Quiz zu diesem Thema und muss es deshalb gut können. Die Aufgabe, die im Quiz dran kommt soll nochmal eine Ecke schwerer sein die Aufgabe, die ich hier gegeben habe.
Hoffe mir kann da weiter geholfen werden.
mfg Marcel
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Hallo,
kannst Du Matrizen mit Vektoren multiplizieren?
Kannst Du gerade mal schnell
[mm] \pmat{1&2&3\\4&5&6}*\vektor{7\\8\\9\\10}
[/mm]
ausrechnen? Nein? Warum nicht?
In Deiner Aufgabe ist x ein Spaltenvektor mit l Einträgen.
Du kannst nur gewisse Matrizen mit ihm multiplizieren. Welche Einschränkung gibt es?
Die Abbildung f soll sein [mm] f:\IR^{k\times a}\to [/mm] ...
Können wir a und k frei wählen?
Aus diesen Überlegungen ergibt sich D.
Zum Wertebereich: was ist das Ergebnis der Multiplikation der oben überlegten Matrizen mit dem Vektor x? Matrizen, Vektoren mit 100 Einträgen, Türklinken, junge Katzen?
Zur Bildmenge: wie ist sie definiert?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel93 |
> In Deiner Aufgabe ist x ein Spaltenvektor mit l
> Einträgen.
> Du kannst nur gewisse Matrizen mit ihm multiplizieren.
> Welche Einschränkung gibt es?
>
> Die Abbildung f soll sein [mm]f:\IR^{k\times a}\to[/mm] ...
> Können wir a und k frei wählen?
> Aus diesen Überlegungen ergibt sich D.
Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass l auf jeden fall einen anderen Wert hat als k, dann müsste der Definitionsbereich D = [mm] \IR^1 [/mm] x .... x [mm] \IR^k [/mm] lauten (?) mit k ungleich l
> Zum Wertebereich: was ist das Ergebnis der Multiplikation
> der oben überlegten Matrizen mit dem Vektor x? Matrizen,
> Vektoren mit 100 Einträgen, Türklinken, junge Katzen?
Das Ergebnis der Multiplikation wäre in dem Fall der Wertebereich. Ein Vektor mit k Zeilen
W = [mm] \IR^k [/mm] (?)
> Zur Bildmenge: wie ist sie definiert?
Die Bildmenge wird als f(D) bezeichnet, also bezieht sie sich so wie ich das sehe auf den Definitionsbereich ?
Da weiß ich jetzt leider nicht weiter.
mfg Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß gerade nicht, was genau Du Dir da überlegt hast. (Schon gar nicht,
was das [mm] $\IR^1 \times \IR^2 \times [/mm] ...$ soll...) Machen wir es nochmal:
Erinnerung: Das Matrixprodukt [mm] $A*B\,$ [/mm] für Matrizen [mm] $A^{m \times \red{\;n\;}}$ [/mm] und $B [mm] \in \IR^{\red{\;p\;} \times q}$ [/mm]
ist nur definiert, falls [mm] $n=p\,.$ [/mm] (Hierbei sind $m,n,p,q [mm] \in \IN$ [/mm] - beachte, dass bei
mir $0 [mm] \notin \IN\,.$) [/mm] In diesem Falle ist $A*B [mm] \in \IR^{m \times q}\,.$
[/mm]
(Nebensächlich, aber generell interessant ist sicher auch das, was ich mal
vorn kurzem hier (klick!) erwähnte!)
Direkt mal zur Aufgabenstellung:
| Aufgabe | | Allgemein für m,n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \IR^m^x^n [/mm] := { A | A ist m x n-Matrix}. Gegeben sei ein fester Vektor x [mm] \in \IR^l. [/mm] Für eine Matrix A mit k Zeilen und Spalten a, sei eine Abbildung f def. durch f(A) = Ax. geben Sie für f den Definitionsbereich D, den Wertebereich W und die Bildmenge f(D) an. Achten Sie auf das, was gefragt ist. |
Die ist schlecht gestellt. Wenigstens sollte da sowas wie "der 'maximale'
Definitionsbereich" oder sowas stehen. Egal, wir wissen, was die wissen
wollen.
So, hier ist $x [mm] \in \IR^\ell\,,$ [/mm] das DINGEN DA ist fest (das ist keine Variable, sondern
ein PARAMETER - meinetwegen ein Vektor-Parameter...).
Die Frage ist eigentlich: Für genau welche Matrizen [mm] $A\,$ [/mm] mit Einträgen in [mm] $\IR$
[/mm]
ist das "Matrixprodukt"
$$A*x$$
definiert?
Warum rede ich da von 'nem Matrixprodukt? Naja, weil $x [mm] \in \IR^\ell$ [/mm] besser als
$x [mm] \in \IR^{\ell \times 1}$ [/mm] zu verstehen ist [mm] ($\IR^\ell \cong \IR^{\ell \times 1}$).
[/mm]
Wenn nun $A [mm] \in \IR^{k \times \red{\;a\;}}$ [/mm] und $x [mm] \in \IR^{\red{\;\ell\;} \times 1}$ [/mm] (hier auch FEST!) ist, wann ist also [mm] $A*x\,$ [/mm] definiert?
(Schlecht ist hier eigentlich auch schon, dass - soweit ich das sehe - gar nicht
klar ist, ob $k [mm] \in \IN$ [/mm] nun variabel sein darf, oder ob [mm] $k\,$ [/mm] als Parameter anzusehen
ist. Ich würde also erstmal für festes [mm] $k\,$ [/mm] sowas wie [mm] ${\mathbbm{D}}_k$ [/mm] definieren [mm] ($k\,$ [/mm] wird als Parameter
betrachtet), und wenn dann [mm] $k\,$ [/mm] variabel sein darf:
[mm] $\mathbbm{D}:=\bigcup_{k \in \IN}{\mathbbm{D}}_k$ [/mm]
definieren - dann hat man auf jeden Fall alles erfasst...
Und später kann man dann mit [mm] $f(\mathbbm{D}_k)$ [/mm] und [mm] $f(\mathbbm{D})$ [/mm] arbeiten...)
Also: hast Du nun eine Idee?
Zum Bildbereich: Beachte, dass Du hier [mm] $f(\blue{\;\textbf{A}\;}):=\blue{\;\textbf{A}\;}*x$ [/mm] hast, nicht [mm] $f(\red{x})=A*\red{x}\,.$
[/mm]
Nichtsdestotrotz kannst Du Dich dran erinnern, was der Ausdruck [mm] $A*x\,$ [/mm] mit
einer Linearkombination der Spalten von [mm] $A\,$ [/mm] zu tun hat...
(Zum Zielbereich: Wenn $A [mm] \in \IR^{k \times \red{\;a\;}}$ [/mm] und $x [mm] \in \IR^{\red{\;\ell\;} \times 1}$ [/mm] so ist, dass [mm] $A*x\,$
[/mm]
definiert ist, so würden wir sicher einen Zielbereich wählen müssen, der
[mm] $f(D)\,$ [/mm] enthält. Wir würden ihn aber am besten so wählen, dass er 'nicht
unnötig groß' wird, andererseits sollte er "kurz" und nicht zu speziell
beschrieben werden können. (Das ist halt das Blöde bei der Aufgabe oben,
der "Wertebereich", den ich lieber Zielbereich nenne, weil ich unter Werte
"angenommene Werte" verstehe, ist alles andere als klar zu verstehen bei
dieser Aufgabe. Eigentlich gehen die "von Erfahrungen bei solchen Aufgaben" aus...)
Das ist etwas schwer zu beschreiben und geht aus der Aufgabenstellung,
wie gesagt, nicht wirklich hervor. Ich mache mal ein anderes Beispiel:
Ich kann bei $g [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ [mm] ($D\,$ [/mm] nicht(!) das aus Deiner Aufgabe) mit
[mm] $D=\IR$ [/mm] durchaus [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] mit [mm] $Z=\IC \cup \IR^2 \cup \{\text{Pumuckl}, \text{Donald Duck}\}$ [/mm] betrachten. Dann
guckt jemand drauf und sagt sofort: [mm] $Z=\IC$ [/mm] ist besser und reicht auch.
Jemand anderes guckt auch drauf und sagt: [mm] $Z=\IR$ [/mm] macht doch mehr Sinn.
Und da hört man dann eigentlich auf - auch, wenn jetzt jemand kommt und
sagt: [mm] $Z=[-1,\infty) \subseteq \IR$ [/mm] reicht auch. Das ist richtig, aber das ist dann 'etwas
spezielles' - genauso, wie [mm] $Z=[0,\infty)$ [/mm] quasi "das Speziellste" wäre, was hier
geht. So richtig ausformulieren will ich das nun nicht, ich hoffe, Du weiß,
wie ich das meine...
Grob: Nicht zu groß und nicht zu klein, aber nicht notwendig minimal...)
Gruß,
Marcel
> > In Deiner Aufgabe ist x ein Spaltenvektor mit l
> > Einträgen.
> > Du kannst nur gewisse Matrizen mit ihm multiplizieren.
> > Welche Einschränkung gibt es?
> >
> > Die Abbildung f soll sein [mm]f:\IR^{k\times a}\to[/mm] ...
> > Können wir a und k frei wählen?
> > Aus diesen Überlegungen ergibt sich D.
>
> Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass l auf jeden fall einen
> anderen Wert hat als k, dann müsste der Definitionsbereich
> D = [mm]\IR^1[/mm] x .... x [mm]\IR^k[/mm] lauten (?) mit k ungleich l
>
>
> > Zum Wertebereich: was ist das Ergebnis der Multiplikation
> > der oben überlegten Matrizen mit dem Vektor x? Matrizen,
> > Vektoren mit 100 Einträgen, Türklinken, junge Katzen?
>
> Das Ergebnis der Multiplikation wäre in dem Fall der
> Wertebereich. Ein Vektor mit k Zeilen
> W = [mm]\IR^k[/mm] (?)
>
>
> > Zur Bildmenge: wie ist sie definiert?
>
>
> Die Bildmenge wird als f(D) bezeichnet, also bezieht sie
> sich so wie ich das sehe auf den Definitionsbereich ?
> Da weiß ich jetzt leider nicht weiter.
>
> mfg Marcel
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