Def. des bestimmten Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Fr 20.06.2008 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Es dreht sich um die Definition des bestimmten Integrals im Meyberg, Mathe 1, Kapitel 4, §1, Absatz 1.1
Dort ist zu lesen:
Sei f eine auf dem Intervall [a,b] definierte, beschränkte Funktion..
Durch Einfügen von n-1 Teilpunkten [mm] a=x_{0}
wird [a,b] in n Teilintervalle [mm] [x_{i-1}-x_{i}] [/mm] zerlegt, sodann wird in jedem Teilintervall irgendein Zwischenpunkt [mm] \xi_{i} [/mm] mit [mm] x_{i-1}\le\xi_{i}\lex_{i} [/mm] ausgewählt und schließlich die Summe
[mm] Z_{n}:=\summe_{i=1}^{n} f(\xi{i})(x_{i}-x_{i-1})
[/mm]
berechnet.
Man nennt [mm] Z_{n} [/mm] eine Zwischensumme oder Riemannsche Summe von f.
Man kann zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Z_{n} [/mm] existiert, sofern die maximale Intervallbreite der einzelnen Unterteilungen n [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen Null strebt.
Außerdem ist dieser Grenzwert unabhängig davon, wie die Teilpunkte und die Zwischenpunkte gewählt werden. ... usw. |
Ich verstehe nicht wieso gesagt wird, dass der Limes unabhängig ist von der Wahl der Unterteilung UND der Zwischenpunkte.
Wenn die Intervallbreite mit [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0 geht, dann bleibt doch nur eine verschwindend kleine Auswahlmöglichkeit für meine Zwischenpunkte [mm] \xi_{i}, [/mm] da ja mein Intervall [mm] [x_{i-1}-x_{i}] [/mm] unendlich schmal wird.
Also gibt es von vorn herein durch den Limes nur ein [mm] \xi_{i} [/mm] in jedem Intervall, wobei die Anzahl der Intervalle gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Hoffe ich konnte mein Anliegen halbwegs verständlich rüberbringen.
Grüße
stowoda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
"Man kann zeigen, dass $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Z_{n} [/mm] $ existiert, sofern die maximale Intervallbreite der einzelnen"
ist i.a. nicht richtig, wenn f nur als beschränkt vorausgesetzt wird.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 20.06.2008 | | Autor: | stowoda |
Ich kann nicht nachvollziehen was Du meinst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Grenzwert
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Z_{n} [/mm] $
existiert im allgemeinen nicht, wenn f nicht integrierbar ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 20.06.2008 | | Autor: | stowoda |
Achso, jetzt habe ich verstanden.
Du meinst also, dass f stückweise stetig sein muss.
Das habe ich vergessen hinzuzufügen, da ich bereits auf das Buch verwiesen habe und davon ausging, dass bekannt ist was gemeint ist..
Sorry.
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> Wenn die Intervallbreite mit [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0
> geht, dann bleibt doch nur eine verschwindend kleine
> Auswahlmöglichkeit für meine Zwischenpunkte [mm]\xi_{i},[/mm] da ja
> mein Intervall [mm][x_{i-1}-x_{i}][/mm] unendlich schmal wird.
Jedes noch so kleine Intervall [mm] [x_{i-1};x_i] [/mm] mit [mm] x_{i-1} [/mm] < [mm] x_i [/mm] ist
genauso reichhaltig wie ganz [mm] \IR [/mm] !
> Also gibt es von vorn herein durch den Limes nur ein
> [mm]\xi_{i}[/mm] in jedem Intervall, wobei die Anzahl der Intervalle
> gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Vor der Limesbildung gibt es in jedem Intervall noch [mm] \infty [/mm] viele [mm] \xi_i
[/mm]
Wegen der vorausgesetzten (stückweisen) Stetigkeit wird aber der
Variationsbereich der [mm] \xi_i [/mm] und der Funktionswerte [mm] f(\xi_i) [/mm] für
jedes Intervall beliebig klein (falls f im Intervall stetig).
Für diejenigen (endlich vielen) Intervalle, welche eine Sprungstelle
enthalten, ist eine besondere Zusatzüberlegung erforderlich,
bei der die Beschränktheit von f eine wesentliche Rolle spielt.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 11.09.2008 | | Autor: | stowoda |
Wie zeigt man denn, dass die max Intervallbreite der Zerlegung gegen Null geht mit wachsendem n.
Gibt es da eine Folge die man betrachten müsste?
Also anschaulich ist es logisch, dass die Breite gegen Null geht wenn ich in ein festes Intervall (in R)durch immer höhere Zahlen teile, also in stücke teile.
Wie könnte man das beweisen?
Grüße
stowoda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wie zeigt man denn, dass die max Intervallbreite der
> Zerlegung gegen Null geht mit wachsendem n.
Das kann man nicht zeigen, weil es falsch ist !!
Nimm z.B. das Intervall [-1,1] und die Folge [mm] (Z_n) [/mm] von Zerlegungen wobei
[mm] Z_n [/mm] = {-1,0,1/n,2/n, ... , n/n} (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Die max. Intervall-Länge der Teilintervalle eines jeden [mm] Z_n [/mm] ist immer = 1 (unabh. von n)
FRED
> Gibt es da eine Folge die man betrachten müsste?
> Also anschaulich ist es logisch, dass die Breite gegen
> Null geht wenn ich in ein festes Intervall (in R)durch
> immer höhere Zahlen teile, also in stücke teile.
> Wie könnte man das beweisen?
>
> Grüße
> stowoda
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