Dedekindscher Schnitt,Struktur < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Proposition:
Sei S ein Schnitt.
Zu jeder positiven rationalen Zahl [mm] \epsilon [/mm] gibt es q,r [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] q\in [/mm] S , r [mm] \in \IQ\setminus [/mm] S und [mm] q-r\le \epsilon [/mm] |
Hallo,
Ich komme mit dem Beweis im Buch nicht zu 100% klar.
"Sei [mm] 0<\epsilon \in \IQ. [/mm] Weil S ein Schnitt ist, gibt es q [mm] \in [/mm] S und r [mm] \in \IQ\setminus [/mm] S. Ist [mm] q-r\le \epsilon, [/mm] dann sind wir fertig. Andernfallls sei n [mm] \in \IN, [/mm] so groß, dass n > [mm] \frac{q-r}{\epsilon} [/mm] gilt. Solch ein n existiert wegen der Unbeschränkheit von [mm] \IN [/mm] in [mm] \IQ. [/mm] Wir bilden nun die Menge
[mm] M:=\{r+k\frac{q-r}{n}|k\in\{0,..,n\}\}\subseteq \IQ
[/mm]
für q [mm] \in M\cap [/mm] S und [mm] r\in M\cap(\IQ\setminus [/mm] S). Es existiert ein kleinstes Element [mm] q_m \in M\cap [/mm] S, weil M endlich ist. Dann ist [mm] r_M:=q_m-\frac{q-r}{n}\in M\cap(\IQ\setminus [/mm] S), und wir haben zwei rationalen Zahlen [mm] q_m [/mm] und [mm] r_m [/mm] wie benötigt gefunden,da [mm] q_m -r_m [/mm] = [mm] \frac{q-r}{n}< \epsilon"
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Also ich verstehe den Beweis ab:
> Dann ist [mm] r_M:=q_m-\frac{q-r}{n}\in M\cap(\IQ\setminus [/mm] S), und wir haben zwei rationalen Zahlen [mm] q_m [/mm] und [mm] r_m [/mm] wie benötigt gefunden,da [mm] q_m -r_m [/mm] = [mm] \frac{q-r}{n}< \epsilon"
[/mm]
nicht mehr.
Woher wissen wir, dass [mm] q_m [/mm] die Gestalt [mm] q_m [/mm] = [mm] r_m [/mm] + [mm] \frac{q-r}{n} [/mm] hat? Was soll in dem Zusammenhang überhaupt [mm] r_m? [/mm] Müssen nicht alles Elemente in M die Gestalt [mm] r+k\frac{q-r}{n} [/mm] haben?
|
|
| |
|
> Proposition:
> Sei S ein Schnitt.
Bemerkung: mit einem "Schnitt" ist hier offenbar eine
Teilmenge S der Menge [mm] \IQ [/mm] gemeint mit der Eigen-
schaft
[mm] $\left(\underset{S}{\forall}\ q\right) [/mm] \ [mm] \left(\underset{\IQ\smallsetminus S}{\forall}\ r\right)\ [/mm] \ q>r$
> Zu jeder positiven rationalen Zahl [mm]\epsilon[/mm] gibt es q,r
> [mm]\in \IQ[/mm] mit [mm]q\in[/mm] S , r [mm]\in \IQ\setminus[/mm] S und [mm]q-r\le \epsilon[/mm]
>
> Hallo,
> Ich komme mit dem Beweis im Buch nicht zu 100% klar.
>
> "Sei [mm]0<\epsilon \in \IQ.[/mm] Weil S ein Schnitt ist, gibt es q
> [mm]\in[/mm] S und r [mm]\in \IQ\setminus[/mm] S. Ist [mm]q-r\le \epsilon,[/mm] dann
> sind wir fertig. Andernfallls sei n [mm]\in \IN,[/mm] so groß, dass
> n > [mm]\frac{q-r}{\epsilon}[/mm] gilt. Solch ein n existiert wegen
> der Unbeschränkheit von [mm]\IN[/mm] in [mm]\IQ.[/mm] Wir bilden nun die
> Menge
> [mm]M:=\{r+k\frac{q-r}{n}|k\in\{0,..,n\}\}\subseteq \IQ[/mm]
> für
> q [mm]\in M\cap[/mm] S und [mm]r\in M\cap(\IQ\setminus[/mm] S). Es existiert
> ein kleinstes Element [mm]q_m \in M\cap[/mm] S, weil M endlich ist.
> Dann ist [mm]r_M:=q_m-\frac{q-r}{n}\in M\cap(\IQ\setminus[/mm] S),
> und wir haben zwei rationalen Zahlen [mm]q_m[/mm] und [mm]r_m[/mm] wie
> benötigt gefunden,da [mm]q_m -r_m[/mm] = [mm]\frac{q-r}{n}< \epsilon"[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
>
> Also ich verstehe den Beweis ab:
> > Dann ist [mm]r_M:=q_m-\frac{q-r}{n}\in M\cap(\IQ\setminus[/mm] S),
> und wir haben zwei rationalen Zahlen [mm]q_m[/mm] und [mm]r_m[/mm] wie
> benötigt gefunden,da [mm]q_m -r_m[/mm] = [mm]\frac{q-r}{n}< \epsilon"[/mm]
>
> nicht mehr.
> Woher wissen wir, dass [mm]q_m[/mm] die Gestalt [mm]q_m[/mm] = [mm]r_m[/mm] +
> [mm]\frac{q-r}{n}[/mm] hat?
Laut Beweis ist [mm] r_M [/mm] so definiert: $\ [mm] r_M:=q_m-\frac{q-r}{n}$
[/mm]
Anschaulich ist der Beweis doch recht simpel und am
besten durch eine einfache Skizze zu veranschaulichen:
Zunächst geht man von einem beliebigen Paar (q,r) aus,
wobei q in der rechten Menge S und r in der linken Teilmenge
$\ R\ =\ [mm] \IQ\smallsetminus [/mm] S$ liegt. Falls sie schon genügend nahe
beieinanderliegen (näher als Epsilon), ist man schon
fertig. Andernfalls unterteilt man die Verbindungsstrecke
von r bis q in genügend viele gleich große Teilstrecken,
deren jede (knapp) kürzer als Epsilon ist.
Nun betrachtet man die Teilpunkte dieser Unterteilung
und sortiert sie: die einen in S und die anderen in der
linken Restmenge R. Unter denjenigen Teilpunkten, die
in S liegen, gibt es einen kleinsten. Der wird mit [mm] q_m [/mm] (das
kleine m vermutlich für "minimal") bezeichnet.
Folglich muss der
unmittelbar links davon liegende Teilpunkt (da er eben
noch kleiner ist) offenbar in R liegen. Er wird mit [mm] r_M [/mm]
(großes M für "Maximal") bezeichnet, und natürlich
ist $\ [mm] q_m-r_M\ [/mm] =\ [mm] \frac{q-r}{n}$ [/mm] (gleich der Lönge
eines Stückleins der Streckenunterteilung).
> Was soll in dem Zusammenhang überhaupt
> [mm]r_m?[/mm] Müssen nicht alles Elemente in M die Gestalt
> [mm]r+k\frac{q-r}{n}[/mm] haben?
Das hat es doch dann ebenfalls, nämlich mit einem
Index k, der um 1 kleiner ist als der für das minimale [mm] q_m [/mm] !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Proposition:
> > Sei S ein Schnitt.
>
> Bemerkung: mit einem "Schnitt" ist hier offenbar eine
> Teilmenge S der Menge [mm]\IQ[/mm] gemeint mit der Eigen-
> schaft
>
> [mm]\left(\underset{S}{\forall}\ q\right) \ \left(\underset{\IQ\smallsetminus S}{\forall}\ r\right)\ \ q>r[/mm]
Zusätzlich ist von einem Schnitt noch [mm] $S\not=\emptyset$ [/mm] und [mm] $S\not=\IQ$ [/mm] zu fordern.
> Anschaulich ist der Beweis doch recht simpel und am
> besten durch eine einfache Skizze zu veranschaulichen:
>
> Zunächst geht man von einem beliebigen Paar (q,r) aus,
> wobei q in der rechten Menge S und r in der linken
> Teilmenge
> [mm]\ R\ =\ \IQ\smallsetminus S[/mm] liegt. Falls sie schon
> genügend nahe
> beieinanderliegen (näher als Epsilon), ist man schon
> fertig. Andernfalls unterteilt man die Verbindungsstrecke
> von r bis q in genügend viele gleich große
> Teilstrecken,
> deren jede (knapp) kürzer als Epsilon ist.
> Nun betrachtet man die Teilpunkte dieser Unterteilung
> und sortiert sie: die einen in S und die anderen in der
> linken Restmenge R. Unter denjenigen Teilpunkten, die
> in S liegen, gibt es einen kleinsten. Der wird mit [mm]q_m[/mm]
> (das
> kleine m vermutlich für "minimal") bezeichnet.
> Folglich muss der
> unmittelbar links davon liegende Teilpunkt (da er eben
> noch kleiner ist) offenbar in R liegen. Er wird mit [mm]r_M[/mm]
> (großes M für "Maximal") bezeichnet, und natürlich
> ist [mm]\ q_m-r_M\ =\ \frac{q-r}{n}[/mm] (gleich der Lönge
> eines Stückleins der Streckenunterteilung).
Sehr schöne Veranschaulichung der Idee! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi!
>
>
> > > Proposition:
> > > Sei S ein Schnitt.
> >
> > Bemerkung: mit einem "Schnitt" ist hier offenbar eine
> > Teilmenge S der Menge [mm]\IQ[/mm] gemeint mit der Eigen-
> > schaft
> >
> > [mm]\left(\underset{S}{\forall}\ q\right) \ \left(\underset{\IQ\smallsetminus S}{\forall}\ r\right)\ \ q>r[/mm]
> Zusätzlich ist von einem Schnitt noch [mm]S\not=\emptyset[/mm] und
> [mm]S\not=\IQ[/mm] zu fordern.
Ah ja, das habe ich vergessen. Wenn man diese Forderungen
weglässt, wären wir aber eigentlich gerade wieder beim
Thema des anderen gerade laufenden Threads, in dem
man quasi [mm] \IR [/mm] durch die Elemente [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] ergänzt,
um für jede beliebige reelle Folge eine in erweitertem
Sinne "konvergente" Teilfolge zu erhalten.
> > Anschaulich ist der Beweis doch recht simpel und am
> > besten durch eine einfache Skizze zu veranschaulichen:
> >
> > Zunächst geht man von einem beliebigen Paar (q,r) aus,
> > wobei q in der rechten Menge S und r in der linken
> > Teilmenge
> > [mm]\ R\ =\ \IQ\smallsetminus S[/mm] liegt. Falls sie schon
> > genügend nahe
> > beieinanderliegen (näher als Epsilon), ist man schon
> > fertig. Andernfalls unterteilt man die
> Verbindungsstrecke
> > von r bis q in genügend viele gleich große
> > Teilstrecken,
> > deren jede (knapp) kürzer als Epsilon ist.
> > Nun betrachtet man die Teilpunkte dieser Unterteilung
> > und sortiert sie: die einen in S und die anderen in
> der
> > linken Restmenge R. Unter denjenigen Teilpunkten, die
> > in S liegen, gibt es einen kleinsten. Der wird mit [mm]q_m[/mm]
> > (das
> > kleine m vermutlich für "minimal") bezeichnet.
> > Folglich muss der
> > unmittelbar links davon liegende Teilpunkt (da er eben
> > noch kleiner ist) offenbar in R liegen. Er wird mit [mm]r_M[/mm]
> > (großes M für "Maximal") bezeichnet, und natürlich
> > ist [mm]\ q_m-r_M\ =\ \frac{q-r}{n}[/mm] (gleich der Lönge
> > eines Stückleins der Streckenunterteilung).
> Sehr schöne Veranschaulichung der Idee!
Danke. An solchen Veranschaulichungen, welche einem
mathematische Überlegungen näher bringen können,
liegt mir eben viel.
> Viele Grüße
> Tobias
LG und weiterhin guten Sonntag ! Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Bemerkung: mit einem "Schnitt" ist hier offenbar eine
> > Teilmenge S der Menge [mm]\IQ[/mm] gemeint mit der Eigen-
> > schaft
> >
> > [mm]\left(\underset{S}{\forall}\ q\right) \ \left(\underset{\IQ\smallsetminus S}{\forall}\ r\right)\ \ q>r[/mm]
> Zusätzlich ist von einem Schnitt noch [mm]S\not=\emptyset[/mm] und
> [mm]S\not=\IQ[/mm] zu fordern.
Hier habe ich noch die Eigenschaft vergessen, dass $S$ kein kleinstes Element enthalten soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 26.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke, du hast das wirklich toll erklärt;) Alles sofort verstanden!
Drucke ich mir gleich aus und hefte es in meine Unterlagen.
Liebe Grüße
|
|
|
|
