De Morgan < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Di 18.10.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega[/mm] eine nicht leere Menge und [mm] A_1 , A_2 , A_3 ,...[/mm] eine Mengenfolge mit [mm] A_i \subseteq \Omega [/mm] für [mm] i \in \IN [/mm]. Beweisen Sie die de Morgan´schen Regeln:
(a) [mm] ({\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c = \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm]
(b)... |
ich würde gerne wissen, ob meine Argumentation so schlüssig ist.
Aufgaben Teil b ist dann die 2. de Mongan´sche Regel, aber eine posten reicht denk ich 
also:
ich setze [mm] (\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c [/mm] = P
und [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm] =Q
Idee: ich zeige, dass P [mm] \subset[/mm] Q und Q [mm] \subset[/mm] P
und daraus folgt dann P=Q
P [mm] \subset[/mm] Q:
sei [mm] x \in P [/mm], also [mm] x \in ({\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c [/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x \notin \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x \notin A_i \forall i \in \IN[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x \in (A_i )^c [/mm] und insbesondere [mm] x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm]=Q
Q [mm] \subset[/mm] P:
sei [mm] x \in Q [/mm], also [mm] x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x \notin \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x \notin A_i \forall i \in \IN[/mm]
[mm] \Rightnarrow[/mm] [mm] x \notin \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] x \in (\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c [/mm] =P
und damit hab ich doch die Gleichheit gezeigt, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine nicht leere Menge und [mm]A_1 , A_2 , A_3 ,...[/mm]
> eine Mengenfolge mit [mm]A_i \subseteq \Omega[/mm] für [mm]i \in \IN [/mm].
> Beweisen Sie die de Morgan´schen Regeln:
>
> (a) [mm]({\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c = \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c[/mm]
>
> (b)...
> ich würde gerne wissen, ob meine Argumentation so
> schlüssig ist.
> Aufgaben Teil b ist dann die 2. de Mongan´sche Regel,
> aber eine posten reicht denk ich
>
> also:
> ich setze [mm](\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c[/mm] = P
> und [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c[/mm] =Q
>
> Idee: ich zeige, dass P [mm]\subset[/mm] Q und Q [mm]\subset[/mm] P
> und daraus folgt dann P=Q
>
> P [mm]\subset[/mm] Q:
> sei [mm]x \in P [/mm], also [mm]x \in ({\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \notin \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x \notin A_i \forall i \in \IN[/mm]
Das stimmt nicht. Sondern: $x [mm] \notin A_{i_0}$ [/mm] für ein [mm] i_0 \in \IN
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in (A_i )^c[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in (A_{i_0} )^c[/mm]
> und insbesondere [mm]x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm]=Q
>
> Q [mm]\subset[/mm] P:
> sei [mm]x \in Q [/mm], also [mm]x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \notin \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x \notin A_i \forall i \in \IN[/mm]
Wieder falsch. Richtig: x [mm] \notin A_i [/mm] für ein i [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
> [mm]\Rightnarrow[/mm] [mm]x \notin \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in (\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i )^c[/mm] =P
>
> und damit hab ich doch die Gleichheit gezeigt, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 18.10.2011 | | Autor: | ella87 |
ja, das mit dem [mm] i_0 [/mm] versteh ich. aber wie kann ich von da aus dann korrekt weiterargumentieren?
wenn [mm] x \notin A_i_0 [/mm], dann muss doch auch gelten [mm] x \notin \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i[/mm], weil ich die Menge durch die Vereinigung nur vergrößer.
Hab ich es dann schon? oder wäre die Folgerung [mm] x \in \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_i)^c[/mm] an der Stelle falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Das war von mir:
$ x [mm] \in (A_{i_0} )^c [/mm] $
und das von Dir:
und insbesondere $ x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm] $=Q
Die Implikation
$ x [mm] \in (A_{i_0} )^c [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i )^c [/mm] $=Q
ist in Ordnung.
FRED
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