Das Minimalpoly. einer nxn-M. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Das Minimalpolynom einer beliebigen n x n - Matrix A kan man bestimmen, indem man
(i) alle potenzen [mm] A^{2}, [/mm] ... , [mm] A^{n} [/mm] berechnet,
(ii) dann alle polynome p= [mm] a_{n}X^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{1}X [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n mit p(A)=0 bestimmt (Die gleichung P(A)=0 ergibt ein Gleichungssystem aus [mm] n^{2} [/mm] Gleichungen für [mm] a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] , welches man systematisch mit gaußalgorithmus löst!
(iii) und dann ermittelt, welches dieser Polynome normiert vom kleinstem Grad ist.
>>>Wenden sie diese systematische Methode auf die Matrix A= [mm] \pmat{ 4 & -2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ 4 & -4 & 4 } [/mm] an. |
(i)
als erstes berechne ich die ersten Matrizen
A= [mm] \pmat{ 4 & -2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ 4 & -4 & 4 }
[/mm]
[mm] A^{2}= \pmat{ 12 & -8 & 4 \\ 16 & -12 & 8 \\ 16 & -16 & 12 }
[/mm]
[mm] A^{3}= \pmat{ 32 & -24 & 12 \\ 48 & -40 & 24 \\ 48 & -48 & 32 }
[/mm]
[mm] A^{4}= \pmat{ 80 & -64 & 32 \\ 128 & -112 & 64 \\ 128 & -128 & 80 }
[/mm]
es fällt mir nur auf, dass manche Zahlen sag ich mal "parallel" zueinander wachsen, aber sollte mir da etwas spezielles auffallen?
und wie soll ich da an [mm] A^{n} [/mm] herankommen?
und wie sollte ich danach weiter vorgehen?
ich denke mal, wenn ich den ersten Teil nicht gemacht habe, dann kann ich mit dem 2tem nicht fortfahren..
danke
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hallo,
n ist hier =3, ist hier ja eine 3x3 Matrix, das Minimalpolynom kann deshalb nur höchstens 3.Grades sein.
(Ich finde diese Aufagbe übringens blödsinnig, das Minimalpolynom zu berechnen geht viel einfacher und das man groß was daraus mitnehmen kann zweifel ich auch dran.) Aber da kannst du ja nichts für, ich frage mich nur, wieso sowas auf den Übungszettel kommt...
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 09.05.2013 | | Autor: | Aguero |
wenn ich es wüsste.... :)
wie würdest du es denn deiner Meinung nach lösen`?
kannst du es auch lösen, indem du nach meinen Vorschriften handelst?
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ich würde das charakteristische Polynom von A berechnen, [mm] det(x*E_3-A)=-(x-2)^3 [/mm] (ist auch etwas Rechnerei, ich habs eben mit einem Rechner ausrechnen lassen) und dann schauen, ob A eingesetzt in p(x)=x-2 Null ist, oder in [mm] p(x)^2=(x-2)^2 [/mm] oder in [mm] (x-2)^3 [/mm] , und die kleinste Potenz, für die P(A)=0 ist, ist dein Minimalpolynom
ist auch etwas rechnen. Aber da kommt man nicht drumherum. Ich könnte es vll auch mit dem Algorithmus, aber hab gerade keine Zeit größere Rechnungen zu machen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Potenzen [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^3 [/mm] hast Du berechnet.
Dann nimm Dir Das LGS
[mm] a_3A^3+a_2A^2+a_1A+a_0E=0
[/mm]
vor.
Das sieht schlimmer aus , als es ist. Schreib die Gleichungen mal hin, dann wirst Du sehen, dass es harmlos ist.
FRED
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