Das Geburtstagsproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Fr 19.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | 1.) In einem Hörsaal befinden sich n Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
(a) mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag,
(b) genau 2 am selben Tag und alle anderen an verschiedenen Tagen
Geburtstag haben, wenn Schaltjahre nicht berücksichtigt werden. |
Hallo erstmal,
zu a) Ich weiß bereits, dass die Lösung [mm] 1-\bruch{365!}{(365-n)!\cdot 365^n} [/mm] ist und kann den Ansatz dafür auch ganz gut nachvollziehen.
Mich würde nur trotzdem interessieren, wo der Fehler in meinem Ansatz liegt:
Ich suche mir einen Tag von den 365 raus. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendeiner meiner n Studenten an diesem Tag Geburtstag hat, beträgt doch [mm] \bruch{1}{365}. [/mm] Dies gilt für alle Studenten.
Mit der Binomialverteilung ist dann:
P(k [mm] \ge 2)=1-\left({n \choose 0}*\bruch{1}{365}^0*\bruch{364}{365}^n-{n \choose 1}*\bruch{1}{365}^1*\bruch{364}{365}^{n-1}\right)
[/mm]
Nun hat das Jahr 365 Tage, also muss ich noch mein P(k [mm] \ge [/mm] 2) mit 365 multiplizieren und bin fertig. Wo liegt mein Denkfehler?
zu b) Ich habe die Lösung [mm] {n\choose 2}*\bruch{365!}{(365-(n-2))!\cdot 365^n} [/mm] zu dieser Aufgabe gefunden, kann sie aber nicht so ganz nachvollziehen. Kann mir einer vielleicht erklären, wie ich darauf komme?
Kann mir hier einer weiterhelfen? Ich komme damit einfach nicht so ganz klar.
Gruß DerGraf
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Hallo,
also erst mal zum Denkfehler bei a): Im Grunde nimmst du dir einen ganz bestimmten Tag hier heraus, z.B den 1. Januar und berechnest für den Tag die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der n Leute an dem bestimmten Tag Geburtstag haben. Nun aber einfach von dem bestimmten Tag auf alle Tage des Jahres zu schließen ist ein fataler Fehler. Ich verdeutliche es dir vllt. besser an einem andern Beispiel: Man würfelt mit nem Laplace-Würfel 6-mal und bei jedem Wurf hat man die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln : [mm] p=\bruch{1}{6}. [/mm] Ist deshalb aber die Wahrscheinlichkeit nach 6 Würfen mindestens eine 1 gewürfelt zu haben [mm] 6*\bruch{1}{6}=1? [/mm] Sicher nicht!
zu b) Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel: n=5
[mm] \vektor{5 \\ 2}= [/mm] gibt dir dann die Anzahl der Möglichkeiten an wie die Personen gepaart Geburtstag haben können: z.B. 12, 13, 14, 15, 23,24, 25, 34 ,35, 45 wären hier alle 10 Möglichkeiten wie die Personen miteinander "gepaart" werden können. Da jede Person an einem beliebigen Tag von 365 Tagen Geburtstag haben könnte, teilen wir durch [mm] 365^{5}. [/mm] Nun geben dir noch [mm] \bruch{365!}{362!} [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten an, die es gibt, damit genau 3 der 5 Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, die erste der 3 Personen hat dann 365 Tage zur Auswahl, die 2.Person 364, die 3.Person 363. und somit 2 am selben Tag.
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Fr 19.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Damit hast du mir sehr geholfen :)
Gruß DerGraf
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