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| Aufgabe | Sei [mm] Pol_2([-1,1],\IR) [/mm] der VR der Polynomfkt´en vom Grad [mm] \le [/mm] 2.
Wähle Basis [mm] A=(1,x,x^2), [/mm] B={1}.
Betrachte die folgende Abbildung:
f: [mm] Pol_2([-1,1],\IR) \to \IR
[/mm]
f [mm] \mapsto \integral_{-1}^{1}{t*f(t) dt}
[/mm]
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M_B^{A}(f).
[/mm]
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Hallo,
im Prinzip weiß ich eigentlich wie man Darstellungsmatrizen bestimmt.
Hier habe ich aber irgendwie Verständnisschwierigkeiten mit der Abbildung.
Ich habe ja die Basis A (s.o.) und muss dieser mit Hilfe der gegebenen Vorschrift abbilden. Aber wie sieht das denn aus?
Mich verwirrt es total, dass ich einmal als Variable "x" und einmal "t" habe.
Ich habs versucht, bezweifle aber irgendwie, dass es korrekt ist.
Hier mein Ansatz:
1 [mm] \mapsto \bruch{1}{2}* x^2 [/mm]
x [mm] \mapsto \bruch{1}{4}* x^4 [/mm]
[mm] x^2 \mapsto \bruch{1}{5}* x^5
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Bin wirklich für jede Hilfe dankbar! Die Aufgabe zu lösen ist mir sehr wichtig.
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Hallo Littlegauss,
> Sei [mm]Pol_2([-1,1],\IR)[/mm] der VR der Polynomfkt´en vom Grad
> [mm]\le[/mm] 2.
> Wähle Basis [mm]A=(1,x,x^2),[/mm] B={1}.
>
> Betrachte die folgende Abbildung:
>
> f: [mm]Pol_2([-1,1],\IR) \to \IR[/mm]
> f [mm]\mapsto \integral_{-1}^{1}{t*f(t) dt}[/mm]
>
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M_B^{A}(f).[/mm]
>
> Hallo,
>
> im Prinzip weiß ich eigentlich wie man
> Darstellungsmatrizen bestimmt.
> Hier habe ich aber irgendwie Verständnisschwierigkeiten
> mit der Abbildung.
>
> Ich habe ja die Basis A (s.o.) und muss dieser mit Hilfe
> der gegebenen Vorschrift abbilden. Aber wie sieht das denn
> aus?
>
> Mich verwirrt es total, dass ich einmal als Variable "x"
> und einmal "t" habe.
Das t ist doch nur die Integrationsvariable ...
> Ich habs versucht, bezweifle aber irgendwie, dass es
> korrekt ist.
> Hier mein Ansatz:
>
> 1 [mm]\mapsto \bruch{1}{2}* x^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, die Basisvektoren [mm] $1,x,x^2$ [/mm] werden doch allesamt nach [mm] $\IR$ [/mm] abgebildet durch das bestimmte Integral, das ergibt ne reelle Zahl!
Ich machs mal für [mm] $x^2$:
[/mm]
[mm] $f(x^2)=\int\limits_{-1}^{1}{t\cdot{}t^2 \ dt}=\int\limits_{-1}^{1}{t^3 \ dt}=\left[\frac{1}{4}t^4\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{4}\cdot{}1^4-\frac{1}{4}\cdot{}(-1)^4=0$
[/mm]
Und das als LK der Basis des Zielraumes, also [mm] $\IR$ [/mm] dargestellt:
[mm] $0=\red{0}\cdot{}1$
[/mm]
Dieser rote Koeffizient liefert dir nun die [mm] \blue{3}.Spalte [/mm] der Darstellungsmatrix (wir betrachten ja den [mm] \blue{3}.Basisvektor x^2)
[/mm]
Edit: wer zählen kann, ist klar im Vorteil ...
>
> x [mm]\mapsto \bruch{1}{4}* x^4[/mm]
>
> [mm]x^2 \mapsto \bruch{1}{5}* x^5[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
> Bin wirklich für jede Hilfe dankbar! Die Aufgabe zu
> lösen ist mir sehr wichtig.
>
Gruß
schachuzipus
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ah! das klingt alles sehr sinnvoll! danke dir.
werde heut abends noch meine lösung posten. wäre nett, wenn mir dann noch jemand sagen kann, ob die korrekt ist.
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meine lösung sieht wie folgt aus:
[mm] M_B^A(F)=( [/mm] 0 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] 0 )
Ist das richtig?
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Kann mir bitte einer sagen, ob meine Lösung richtig ist?
Bin verwirrt, weil man vorher sagte, dass die "0" in die 2.Spalte muss, aber so wie ich das sehe muss diese "0" in die 3.Spalte, oder nicht?
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Hallo nochmal,
> Kann mir bitte einer sagen, ob meine Lösung richtig ist?
>
> Bin verwirrt, weil man vorher sagte, dass die "0" in die
> 2.Spalte muss, aber so wie ich das sehe muss diese "0" in
> die 3.Spalte, oder nicht? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alles richtig, ich kann nicht zählen, daran lag's 
Gruß
schachuzipus
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