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| Aufgabe | Betrachte den vektorraum V= [mm]\pmat{ 0 & a \\
b & 0 } \in M_2_,_ 2(\IR)[/mm] und die lineare Abbildung[mm] \gamma: V\to \IR, M\mapsto detM+E_2[/mm]
a) Gib eine Basis B von V und die darstellungsmatrix [mm]M^B_\varepsilon[/mm]([mm]\gamma[/mm]) ([mm]\varepsilon[/mm] bezeichnet die Standarbasis) an
b) Gib eine Basis von Kern([mm]\gamma[/mm] ) und Bild([mm]\gamma[/mm]) an. |
Zu a)
Basis von V ist schnell gefunden mit B= [mm]<\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0 \\
1 & 0 } [/mm][mm]>[/mm]
Jetzt bilde ich meine Basis auf [mm]\gamma[/mm] ab und erhalte nur [mm]E_2[/mm] und dachte eigentlich, dass es die Einheitsmatrix ist.
Es wird ja von V nach R abgebildet, also ist [mm]E_2[/mm] eindimensional?
Muss nämlich im nächsten Schritt [mm]E_2[/mm] als Linearkombination zu den
Standardbasen [mm]\varepsilon[/mm] aufstellen, um die Darstellungsmatrix zu erhalten.
Als Ergebis für die darstellungsmatrix habe ich [mm]\pmat{1\\
1}[/mm] raus.
Zu b)
V hat vollen rang, also 2 und entspricht der dimension des Bildes. Da die Abbildung aber eindimensional ist, ist der kern in unserem fall nur die Nullmenge selbst, also es existiert keine Besis des Kerns.
Die Basis des Bildes ist gleich, die der darstellungsmatrix, also [mm]\pmat{1\\
1}[/mm]
Bitte um hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Di 08.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Betrachte den vektorraum V= [mm]\pmat{ 0 & a \\
b & 0 } \in M_2_,_ 2(\IR)[/mm]
> und die lineare Abbildung[mm] \gamma: V\to \IR, M\mapsto detM+E_2[/mm]
>
> a) Gib eine Basis B von V und die darstellungsmatrix
> [mm]M^B_\varepsilon[/mm]([mm]\gamma[/mm]) ([mm]\varepsilon[/mm] bezeichnet die
> Standarbasis) an
> b) Gib eine Basis von Kern([mm]\gamma[/mm] ) und Bild([mm]\gamma[/mm]) an.
>
> Zu a)
>
> Basis von V ist schnell gefunden mit B= [mm]<\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm][mm]>[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt bilde ich meine Basis auf [mm]\gamma[/mm] ab und erhalte nur
> [mm]E_2[/mm] und dachte eigentlich, dass es die Einheitsmatrix ist.
Das ist die gute Frage, die zunächst zu klären ist.
[mm] E_2 [/mm] ist normalerweise schon die Einheitsmatrix [mm] \vektor{1&0\\0&1}.
[/mm]
Aber folgendes macht auch kein Sinn, da das Nullelement nicht auf das Nullelement abgebildet wird:
[mm] \gamma: V\to \IR, M\mapsto det\left(M+E_2\right)
[/mm]
Bist du dir sicher, dass die Aufgabe so stimmt?
>
> Es wird ja von V nach R abgebildet, also ist [mm]E_2[/mm]
> eindimensional?
>
> Muss nämlich im nächsten Schritt [mm]E_2[/mm] als
> Linearkombination zu den
> Standardbasen [mm]\varepsilon[/mm] aufstellen, um die
> Darstellungsmatrix zu erhalten.
>
> Als Ergebis für die darstellungsmatrix habe ich [mm]\pmat{1\\
1}[/mm]
> raus.
>
> Zu b)
> V hat vollen rang, also 2 und entspricht der dimension des
> Bildes. Da die Abbildung aber eindimensional ist, ist der
> kern in unserem fall nur die Nullmenge selbst, also es
> existiert keine Besis des Kerns.
>
> Die Basis des Bildes ist gleich, die der
> darstellungsmatrix, also [mm]\pmat{1\\
1}[/mm]
>
>
> Bitte um hilfe.
>
>
Gruß
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Genau dass ist auch mein Problem. [mm]E_2[/mm] ist die Einheitsmatrix, wie du unten aufgeführt hast. Aber wo ich wirklich skeptisch bin, ist wenn ich
z.B. Basis [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 } [/mm] wähle stat einer der obigen. Die det von der Basis ist -1, aber was ist -1+[mm]E_2[/mm]. In der Aufgabe stehts so geschriben:
<img [mm] src="https://unimatheforum.de/proxy/m6.teximg.de/server/r?i=1714903&h=9f572a64d699414b083fefbb59f58838da46a702&d=162&s=%24+%5Cdisplaystyle%7B+%5Cgamma%3A+V%5Cto+%5CIR%2C+M%5Cmapsto+detM%2BE_2+%7D+%24" [/mm] style="vertical-align: middle;" border="0">
heißt dass jetzt det(M+[mm]E_2[/mm]) oder eher (det M)+[mm]E_2[/mm]
Die aufgabe ist schon so gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Di 08.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Genau dass ist auch mein Problem. [mm]E_2[/mm] ist die
> Einheitsmatrix, wie du unten aufgeführt hast. Aber wo ich
> wirklich skeptisch bin, ist wenn ich
> z.B. Basis [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] wähle stat einer der
> obigen.
Das ist dann keine Basis mehr. Die Basis muss aus zwei Elementen bestehen.
> Die det von der Basis ist -1, aber was ist -1+[mm]E_2[/mm].
> In der Aufgabe stehts so geschriben:
>
>
> <img [mm] src="https://unimatheforum.de/proxy/m6.teximg.de/server/r?i=1714903&h=9f572a64d699414b083fefbb59f58838da46a702&d=162&s=%24+%5Cdisplaystyle%7B+%5Cgamma%3A+V%5Cto+%5CIR%2C+M%5Cmapsto+detM%2BE_2+%7D+%24" [/mm] style="vertical-align: middle;" border="0">
>
> heißt dass jetzt det(M+[mm]E_2[/mm]) oder eher (det M)+[mm]E_2[/mm]
Das Problem ist, im ersten Fall handelt es sich nicht um eine lineare Abbildung, wie ich vorangehend schrieb.
Im zweiten Fall ist nicht klar, was damit überhaupt gemeint sein soll.
Mal angenommen [mm] E_2 [/mm] wäre eine reelle Zahl:
Selbst dann wäre die Abbildung nicht (!) linear, denn es müsste gelten
[mm] \gamma\vektor{0&1\\1&0}=-1+E_2
[/mm]
[mm] \gamma\vektor{0&2\\2&0}=-4+E_2=-2+2E_2=\gamma\vektor{0&1\\1&0}+\gamma\vektor{0&1\\1&0}
[/mm]
Es folgt [mm] E_2=-2, [/mm] aber wegen [mm] \gamma\vektor{0&0\\0&0}=E_2 [/mm] muss [mm] E_2=0 [/mm] sein. Widerspruch.
An der bisherigen Auffassung der Aufgabenstellung kann etwas nicht stimmen.
Wahrscheinlich kann niemand hier im Forum unter den gegebenen Voraussetzungen mit der Aufgabe etwas anfangen ...
>
>
> Die aufgabe ist schon so gestellt.
>
Gruß
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habe darauf gar nicht geachtet zu überprüfen, ob es sich um eine lineare abbildung wirklich handelt.
Der Nullvektor wird nicht auf den Nullvektor abgebildet. Ok
Sehen wir davon mal ab: meine Idee
Wir ahben ja die Basis B von V
[mm]<\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\
1 & 0 } >[/mm]
abgebildet liefert es uns, wenn wir annehmen, dass [mm]E_2[/mm] die Einheitsmatrix ist, folgendes:
[mm]\gamma(\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 0 })= E_2
\gamma(\pmat{ 0 & 0 \\
1 & 0 })= E_2
[/mm]
Als Linearkombination zu den Einheitsvektoren, ergibt sich die darstellungmatrix
[mm]M^B_\varepsilon(\gamma)=\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 1 } [/mm]
b) Die basis von kern([mm]\gamma[/mm]) ist dann nach der darstellungsmatrix
[mm]<\pmat{1\\
-1}>[/mm]
die des bildes [mm]<\pmat{1\\
1}>[/mm]
Was mich nur stützig macht ist, dass [mm]\gamma : V\to\IR, [/mm] abbildet. [mm]\IR, [/mm] heisst doch relle zahlen, d.h. eindimensional oder nicht?
Danke
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> habe darauf gar nicht geachtet zu überprüfen, ob es sich
> um eine lineare abbildung wirklich handelt.
> Der Nullvektor wird nicht auf den Nullvektor abgebildet.
> Ok
>
> Sehen wir davon mal ab: meine Idee
Hallo,
solange wir keine sinnvolle Defition der Abbildung [mm] \gamma [/mm] vorliegen haben, ist jedes weitere Tun müßig.
Völlig sinnlos ist
[mm] \gamma: V\to \IR
[/mm]
[mm] \gamma(M):=det [/mm] M + [mm] E_2,
[/mm]
denn man kann eine Zahl und eine Matrix nicht addieren.
Unpassend ist auch
[mm] \gamma: V\to \IR
[/mm]
[mm] \gamma(M):=det [/mm] (M + [mm] E_2),
[/mm]
denn es war die Rede davon, daß es sich um eine lineare Abbildung handelt - diese Abbildung ist aber nicht linear, und weil sie nicht linear ist, erübrigt sich der Gedanke an Darstellungsmatrix.
Bevor hier irgendwas passiert, brauchen wir die korrekte Aufgabenstellung im O-Ton mitsamt allen einführenden Erklärungen, sofern es welche gibt.
Wenn Du die Aufgabenstellung korrekt und vollständig gepostet hast, so wende Dich an die Aufgabensteller mit dem Hinweis, daß etwas nicht in Ordnung ist.
Gruß v. Angela
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Werde am Diónnerstga mal nachfragen, was da nicht stimmt.
Danke
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