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Forum "Lineare Abbildungen" - Darstellungsmatrix
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Darstellungsmatrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 13.12.2010
Autor: nitromath

Aufgabe
Gegeben sind die Basen [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}} [/mm] des [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] {\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}} [/mm] des [mm] \IR^{2}. [/mm]
Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2}, [/mm] definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen.

Hi,

meine Lösung:

f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] = 2 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm]
f(0,1,4) = (0+1,2*4) = [mm] \vektor{1 \\ 8} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 4 * [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm]
f(1,2,3) = (1+2,2*3) = [mm] \vektor{3 \\ 6} [/mm] = 3 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 3 * [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm]

somit ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3} [/mm]

Ist das so korrekt?

Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] mit A multipliziere bekomme ich als Ergebnis den Vektor [mm] \vektor{13 \\ 17}. [/mm] Aber f(1,2,3) = (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was falsch?

lg, nitro

        
Bezug
Darstellungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 13.12.2010
Autor: MathePower

Hallo nitromath,

> Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> bezüglich dieser Basen.
>  Hi,
>  
> meine Lösung:
>  
> f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  f(0,1,4) = (0+1,2*4) = [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  f(1,2,3) =
> (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  
> somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>  
> Ist das so korrekt?


Ja, das ist korrekt. [ok]


>  
> Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =


Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.


> (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> falsch?
>  
> lg, nitro


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Darstellungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Mo 13.12.2010
Autor: nitromath


> Hallo nitromath,
>  
> > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  >  Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > bezüglich dieser Basen.
>  >  Hi,
>  >  
> > meine Lösung:
>  >  
> > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  f(0,1,4) = (0+1,2*4) =
> [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  f(1,2,3)
> =
> > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  
> > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>  
> >  

> > Ist das so korrekt?
>  
>
> Ja, das ist korrekt. [ok]
>  
>
> >  

> > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
>
>
> Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>  

Hi, so:

2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17

lg

>
> > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > falsch?
>  >  
> > lg, nitro
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Darstellungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mo 13.12.2010
Autor: MathePower

Hallo nitromath,

> > Hallo nitromath,
>  >  
> > > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > > [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  >  >  Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > > bezüglich dieser Basen.
>  >  >  Hi,
>  >  >  
> > > meine Lösung:
>  >  >  
> > > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  f(0,1,4) = (0+1,2*4) =
> > [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  
> f(1,2,3)
> > =
> > > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  
> > > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ist das so korrekt?
>  >  
> >
> > Ja, das ist korrekt. [ok]
>  >  
> >
> > >  

> > > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
> >
> >
> > Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>  >  
>
> Hi, so:
>  
> 2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
>  0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17


Durch die Darstellungsmatrix werden die Koordinaten bzgl.
der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Abbildung  f in
Koordinaten der Basis in  [mm]\IR^{2}[/mm] überführt.

Der Vektor [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] hat bezüglich der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm]
die Koordinaten [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

Wendet man jetzt die Darstellungsmatrix auf diese Koordianten an,
so erhält man die Koordinaten bzgl. der Basis in [mm]\IR^{2}[/mm].

[mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\pmat{3 \\ 3}[/mm]

Da hast Du also etwas verwechselt.


>  
> lg
>  
> >
> > > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > > falsch?
>  >  >  
> > > lg, nitro
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Darstellungsmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Mo 13.12.2010
Autor: nitromath


> Hallo nitromath,
>  
> > > Hallo nitromath,
>  >  >  
> > > > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > > > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > > > [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  >  >  >  Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f:
> [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > > > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > > > bezüglich dieser Basen.
>  >  >  >  Hi,
>  >  >  >  
> > > > meine Lösung:
>  >  >  >  
> > > > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > > > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  >  f(0,1,4) = (0+1,2*4)
> =
> > > [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > > > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  >  
> > f(1,2,3)
> > > =
> > > > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > > > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Ist das so korrekt?
>  >  >  
> > >
> > > Ja, das ist korrekt. [ok]
>  >  >  
> > >
> > > >  

> > > > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > > > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > > > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
> > >
> > >
> > > Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>  >  >  
> >
> > Hi, so:
>  >  
> > 2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
>  >  0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17
>  
>
> Durch die Darstellungsmatrix werden die Koordinaten bzgl.
>  der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Abbildung  f in
>  Koordinaten der Basis in  [mm]\IR^{2}[/mm] überführt.
>  
> Der Vektor [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] hat bezüglich der Basis in
> [mm]\IR^{3}[/mm]
>  die Koordinaten [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Wendet man jetzt die Darstellungsmatrix auf diese
> Koordianten an,
>  so erhält man die Koordinaten bzgl. der Basis in
> [mm]\IR^{2}[/mm].
>  
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\pmat{3 \\ 3}[/mm]
>  
> Da hast Du also etwas verwechselt.
>  
>
> >  

> > lg
>  >  
> > >
> > > > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > > > falsch?
>  >  >  >  
> > > > lg, nitro
> > >
> > >
> > > Gruss
>  >  >  MathePower
> >
>  
>
> Gruss
>  MathePower  

Ah, ok, jetzt ists klar! Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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