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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 20.12.2005 | | Autor: | Gwin |
nabend...
ich bin gerade dabei mich mit vektoren auseinander zu setzten... speziell mit der ebenengleichung...
es gibt hier ja mehrere möglichkeiten der darstellung...
-Normalform
-Koordinatendarstellung
-Parameterform
-Achsenabschnittsform
-Hessesche Normalform
leider habe ich die übersicht verlohren wann man welche form benutzt bzw. welche vorteile die einzelnen formen haben...
kennt jemand von euch eine seite im i-net auf der dieses erläutert wird?
ich habe schon gesucht aber nichts gefunden auch aus meinem skript werde ich diesbezüglich nicht wirklich schlau...
vielen dank schon mal im vorraus...
mfg Gwin
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Diese Vielfalt der Ebenendarstellungen ist verwirrend, weil sie die Tatsache verdunkelt, daß es in Wirklichkeit nur zwei Darstellungsformen gibt: die Normalform (auch Normalenform) und die Parameterdarstellung. Alle anderen sind Sonderfälle dieser beiden Darstellungsmöglichkeiten und bis auf die Hessesche Normalform schlichtweg überflüssig.
1. Normalform vektoriell
[mm]\vec{n} \left( \vec{x} - \vec{a} \right) = 0[/mm]
Hier ist [mm] \vec{n} [/mm] ein sogenannter Normalenvektor der Ebene, also ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht. [mm]\vec{a}[/mm] ist der Ortsvektor eines festen Ebenenpunktes (gelegentlich Stützvektor oder ähnlich genannt) und [mm]\vec{x}[/mm] der Ortsvektor eines variablen Ebenenpunktes.
2. Normalform skalar
Wenn du die Vektoren in Koordinaten bezüglich einer Standard-Orthonormalbasis darstellst:
[mm]\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}[/mm]
(und entsprechend die andern)
und in 1. nach der Definition des Skalarproduktes ausmultiplizierst, bekommst du die skalare Variante der Normalenform:
[mm]n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + c = 0[/mm]
Hierbei ist [mm]c = - \vec{n} \, \vec{a}[/mm]. Und diese skalare Normalenform heißt auch Koordinatenform.
3. Hessesche Normalform
Hiervon spricht man, wenn in der Normalenform [mm]\vec{n}[/mm] die Länge 1 hat, wenn also [mm]\vec{n}^2 = 1[/mm] gilt. Skalar geschrieben heißt das: [mm]n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1[/mm].
Die Hessesche Normalenform wird angewandt, um den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu berechnen.
4. Parameterdarstellung
[mm]\vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}[/mm]
Hierbei ist [mm]\vec{a}[/mm] der Ortsvektor eines festen Ebenenpunktes (Stützvektor), [mm]\vec{u}, \vec{v}[/mm] sind linear unabhängige Vektoren, sogenannte Richtungsvektoren der Ebene. Die Parameter [mm]\lambda, \mu[/mm] durchlaufen unabhängig voneinander die reellen Zahlen.
Kennt man drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte [mm]A,B,C[/mm] der Ebene mit den Ortsvektoren [mm]\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}[/mm], so kann man
[mm]\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} \, , \ \ \vec{v} = \vec{a} - \vec{c}[/mm]
als Richtungsvektoren wählen. Einen Normalenvektor erhält man aus ihnen mit dem Kreuzprodukt:
[mm]\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}[/mm]
Und die Achsenabschnittsform ist gänzlich überflüssig. Daher gehe ich auf sie erst gar nicht ein.
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