Darstellungmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Judith |
Hallo,
ich studiere Mathematik im 1. FS und hätte da eine Frage zu einer Übungsaufgabe..Wir sollen Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen berechnen
(z.b. T: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] , T(x,y)= (2x-3y, [mm] x+y)^T
[/mm]
in der kanonischen Basis B1 des [mm] R^2)
[/mm]
Nun hab ich aber mal keine Ahnung was eine Darstellungsmatrix ist geschweige denn wie man sie berechnet?
danke im Voraus
Judith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Judith,
ein herzliches Willkommen auch an Dich! 
Was eine Matrix ist, und wie man sie als Abbildung benutzt, weißt du aber, oder?
Zum Beispiel könnte man die Matrix
[mm] A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} [/mm]
auffassen als (lineare) Abbildung (ich nenne sie [mm]a[/mm]) zwischen den beiden Vektorräumen
[mm] \begin{array}{cccc}
a: & \IR^2 & \to & \IR^2 \\
& \vec x & \mapsto & A*\vec x
\end{array}[/mm]
Dies ist offenbar eine lineare Abbildung, aber es gilt auch: Jede lineare Abbildung läßt sich mit Hilfe einer Matrix darstellen. Diese Matrix ist dann die Darstellungsmatrix.
Nun zu deiner Aufgabe.
Gegeben ist die Abbildung
[mm] \begin{array}{cccc}
t: & \IR^2 & \to & \IR^2 \\
& (x,y) & \mapsto & (2x-3y, x+y)^T
\end{array}[/mm]
Du mußt hier nur überlegen, welche Matrix dieselbe Abbildung beschreibt, also für welche Matrix
[mm] A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm]
gilt:
[mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}*
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
= (2x-3y, x+y)^T [/mm]
Das überlasse ich jetzt erst mal dir zur Übung, in dem Vertrauen darauf, dass du dich bei Problemen einfach wieder meldest  . Oder mit der Lösung, zur Kontrolle.
Bis hoffentlich gleich oder später,
Marc.
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