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| Aufgabe | Es Sei [mm] V=Abb(\IR,\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm]
Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus V sind linear unabhängig?
a) [mm] {(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos: \IR-->\IR), (sin: \IR-->\IR)}
[/mm]
[mm] b){(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos: \IR-->\IR)}
[/mm]
c) [mm] {(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos²: \IR-->\IR, x-->(cos(x))²), (sin:² \IR-->\IR)} [/mm] |
Hi,
Also mir macht die Darstellung der Vektoren Probleme!
In der Vorlesung haben wir nur Vektoren als Beispiele gehabt die zb. so aussahen
[mm] \vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}, \vektor{x\\ y} [/mm] und mit Reellen Zahlen gefüllt waren
1) bedeutet, dass die Abbildungen von [mm] \IR-->\IR [/mm] gehen, dass die Vektoren nur jeweils ein Element haben?
2) der vektor mit der 1: x-->1 besagt dass er jedes x auf die 1 abbildet???
3) nur "sin" alleine soll sin(x) heißen oder wie???
4) kann ich unterschiedliche x nehmen oder müssen das für alle immer die selben seien???
lg, Richard
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> Es Sei [mm]V=Abb(\IR,\IR)[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der Abbildungen
> von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm]
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> Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus V sind linear
> unabhängig?
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> a) [mm]{(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos: \IR-->\IR), (sin: \IR-->\IR)}[/mm]
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> [mm]b){(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos: \IR-->\IR)}[/mm]
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> c) [mm]{(1:\IR-->\IR, x-->1), (cos²: \IR-->\IR, x-->(cos(x))²), (sin:² \IR-->\IR)}[/mm]
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> Hi,
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> Also mir macht die Darstellung der Vektoren Probleme!
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> In der Vorlesung haben wir nur Vektoren als Beispiele
> gehabt die zb. so aussahen
>
> [mm]\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}, \vektor{x\\ y}[/mm] und mit
> Reellen Zahlen gefüllt waren
Hallo,
tja, und nun bist Du fortgeschrittener.
Vektoren sind Elemente eines Vektorraumes. Nicht mehr und nicht weniger.
Ihr habt sicher in der Vorlesung gezeigt, daß die Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit der Addition und der Multiplikation m. Skalaren einen VR bilden.
Drei Vektoren dieses VRs hast Du nun in a) gegeben, nämlich die Funktionen 1, cos und sin.
Die Frage steht im Raum, ob die drei linear unabhängig sind, ob man also Koeffiziernten [mm] K_i \in \IR [/mm] findet mit
(*) [mm] k_1*1+k_2*cos [/mm] + [mm] k_3*sin= [/mm] n.
Das n steht hier fürs neutrale Element im betrachteten VR. Es ist keine Zahl, sondern die Funktion, die alles auf die Null abbildet,
also [mm] n:\IR\to \IR [/mm] mit n(x):=0 f.a. [mm] x\in \IR.
[/mm]
Wir haben also die Gleichheit von Funktionen zu zeigen, nämlich von [mm] k_1*1+k_2*cos [/mm] + [mm] k_3*sin [/mm] und n.
Wann sind Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Aus (*) folgt also
Es ist [mm] k_1*1(x)+k_2*cos(x) [/mm] + [mm] k_3*sin(x)= [/mm] n(x) für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
==> [mm] k_1+k_2*cos(x) [/mm] + [mm] k_3*sin(x)=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
(Da das für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt, gilt es für jedes x, welches ich mir aussuche.
Weil ich eine Gleichung mit drei Unbekannten habe, suche ich mir drei gut zu rechnende x aus, um ein GS aus drei Gleichungen mit den drei Variablen [mm] k_i [/mm] zu bekommen.)
Also gilt insbesondere
[mm] k_1+k_2*cos(0) [/mm] + [mm] k_3*sin(0)=0 [/mm]
[mm] k_1+k_2*cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] k_3*sin(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]
[mm] k_1+k_2*cos(\pi) [/mm] + [mm] k_3*sin(\pi)=0 [/mm]
Dieses GS kannst Du nun auflösen.
Wenn es nur die Lösung [mm] k_1=k_2=k_3=0 [/mm] hat, ist es linear unabhängig.
Das kannst Du nun herausfinden.
Wenn Funktionen [mm] f_i [/mm] linear abhängig sind, findest (bzw. mußt Du finden) Du [mm] k_i, [/mm] so daß für alle x gilt
[mm] k_1f_1(x)+k_2f_2(x)+k_3f_3(x)=0 [/mm] .
Da ist es nicht damit getan, daß man Koeffizienten [mm] k_i [/mm] findet, die's an drei ausgewählten Stellen tun.
Gruß v. Angela
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Hi und Danke für diese präzise Erklärung
Ich habe jetzt rausbekommen, dass a), b) linear unabhängig sind und
c) linear abhängig
kann das jemand bestätigen, liebe grüße Richard
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Hallo,
Deine Ergebnisse stimmen.
Gruß v. Angela
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