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| Aufgabe | Wir betrachten den Ring [mm] R = \IZ [\sqrt{3}] [/mm] und das von $ 5 + 11 [mm] \sqrt{3} [/mm] $ und $ 8 - 3 [mm] \sqrt{3} [/mm] $ erzeugte Ideal $ I = (5 + 11 [mm] \sqrt{3}, 8-3\sqrt{3}) [/mm] $.
(a) Geben Sie eine Präsentation (in Matrixform) der additiven Gruppe $G = R/I$ an (die Multiplikation des Rings $ R/I $ interessiert nicht).
(b) Bestimmen Sie die Elementarteiler-Normalform und die Primteiler-Normalform von $G$. |
Hallo zusammen,
ich übe gerade für eine Zahlentheorie-Klausur und bin über diese Aufgabe gestolpert. Zum Thema "Darstellung von endlich erzeugten abelschen Gruppen" habe ich in unserem Skript gelesen, dass man dafür zunächst ein Erzeugendensystem der Gruppe braucht. Leider wusste ich nicht, wie ich aus den Erzeugern des Ideals auf ein solches Erzeugendensystem von $G$ schließen kann.
Als erstes habe ich versucht, $I$ als Hauptideal darzustellen; mit dem euklidischen Algorithmus bin ich darauf gekommen, dass der ggT der beiden Erzeuger gerade 1 ist. Konkreter:
$(3 - [mm] 3\sqrt{3}) \cdot [/mm] (5 + [mm] 11\sqrt{3}) [/mm] + (14 + [mm] 3\sqrt{3}) \cdot [/mm] (8 - [mm] 3\sqrt{3}) [/mm] = 1$.
Damit ist aber $ I = (1) = R $. Dementsprechend wäre $ G = R/I = R/R [mm] \cong \{0\} [/mm] $ oder irre ich mich vollständig? Wenn das stimmen sollte, ergibt die Aufgabe für mich keinen wirklichen Sinn; Ich kann die Gruppe dann aufwändig repräsentieren durch
$ [mm] \IZ \to \IZ \to [/mm] G $, wobei die erste Matrix eine 1x1-Matrix mit dem Eintrag 1 ist, die zweite eine 1x1-Matrix mit dem Eintrag 0.
Hab ich hier irgendwo einen Denkfehler?
Danke für Eure Hilfe,
Melvissimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 02.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir betrachten den Ring [mm]R = \IZ [\sqrt{3}][/mm] und das von [mm]5 + 11 \sqrt{3}[/mm]
> und [mm]8 - 3 \sqrt{3}[/mm] erzeugte Ideal [mm]I = (5 + 11 \sqrt{3}, 8-3\sqrt{3}) [/mm].
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> (a) Geben Sie eine Präsentation (in Matrixform) der
> additiven Gruppe [mm]G = R/I[/mm] an (die Multiplikation des Rings
> [mm]R/I[/mm] interessiert nicht).
>
> (b) Bestimmen Sie die Elementarteiler-Normalform und die
> Primteiler-Normalform von [mm]G[/mm].
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> ich übe gerade für eine Zahlentheorie-Klausur und bin
> über diese Aufgabe gestolpert. Zum Thema "Darstellung von
> endlich erzeugten abelschen Gruppen" habe ich in unserem
> Skript gelesen, dass man dafür zunächst ein
> Erzeugendensystem der Gruppe braucht. Leider wusste ich
> nicht, wie ich aus den Erzeugern des Ideals auf ein solches
> Erzeugendensystem von [mm]G[/mm] schließen kann.
Du fuehrst das ganze auf [mm] $\IZ$-Moduln [/mm] zurueck: du suchst eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] des [mm] $\IZ$-Moduls [/mm] $I$; wenn du $R [mm] \cong \IZ^2$ [/mm] (als [mm] $\IZ$-Modul) [/mm] auffasst, ist alles nur noch lineare Algebra :)
> Als erstes habe ich versucht, [mm]I[/mm] als Hauptideal
> darzustellen; mit dem euklidischen Algorithmus bin ich
> darauf gekommen, dass der ggT der beiden Erzeuger gerade 1
> ist. Konkreter:
> [mm](3 - 3\sqrt{3}) \cdot (5 + 11\sqrt{3}) + (14 + 3\sqrt{3}) \cdot (8 - 3\sqrt{3}) = 1[/mm].
Das war eine gute Idee, und zeigt, dass die Aufgabe wohl schlecht gestellt ist :) Ich vermute, das Ideal sollte irgendetwas nicht-triviales sein, jedoch nach Aenderung der Zahlen kam dann doch etwas triviales heraus...
> Damit ist aber [mm]I = (1) = R [/mm]. Dementsprechend wäre [mm]G = R/I = R/R \cong \{0\}[/mm]
> oder irre ich mich vollständig? Wenn das stimmen sollte,
> ergibt die Aufgabe für mich keinen wirklichen Sinn; Ich
> kann die Gruppe dann aufwändig repräsentieren durch
> [mm]\IZ \to \IZ \to G [/mm], wobei die erste Matrix eine 1x1-Matrix
> mit dem Eintrag 1 ist, die zweite eine 1x1-Matrix mit dem
> Eintrag 0.
Du kannst auch [mm] $\IZ^0 \to \IZ^0 \to [/mm] G$ nehmen mit jeweils Matrizen vom Format $0 [mm] \times [/mm] 0$.
> Hab ich hier irgendwo einen Denkfehler?
Nein. Sieht mir eher nach einer "kaputten" Aufgabenstellung aus.
LG Felix
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