Darstellung reeller Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 24.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich möchte zeigen, dass jede reelle Zahl in [0,1] sich durch [mm] \frac{q}{2^p} [/mm] mit [mm] q\le2^p [/mm] und [mm] p,q\in\IN_0 [/mm] darstellen lässt.
Ich habe mir folgenden Beweis überlegt und würde mich über eine Bewertung freuen:
Für [mm] x\in[0,1]:
[/mm]
[mm] 0=|0-\frac{q}{2^p}|\le|x-\frac{q}{2^p}|\le|1-\frac{q}{2^p}|=|1-1|=0
[/mm]
[mm] =>|x-\frac{q}{2^p}|=0\forall x\in[0,1].
[/mm]
=> Behauptung
Das erste Gleich: Bei q=0.
Das vorletzte Gleich: Für [mm] q=2^p.
[/mm]
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich möchte zeigen, dass jede reelle Zahl in [0,1] sich
> durch [mm]\frac{q}{2^p}[/mm] mit [mm]q\le2^p[/mm] und [mm]p,q\in\IN_0[/mm] darstellen
> lässt.
> Ich habe mir folgenden Beweis überlegt und würde mich
> über eine Bewertung freuen:
> Für [mm]x\in[0,1]:[/mm]
>
> [mm]0=|0-\frac{q}{2^p}|[/mm]
Da meinst Du sicher $0 [mm] \red{\;\le\;} |0-q/2^p|$
[/mm]
> [mm]\le|x-\frac{q}{2^p}|\le|1-\frac{q}{2^p}|=|1-1|=0[/mm]
Naja, da [mm] $q/2^p$ [/mm] und $x [mm] \ge [/mm] 0$ sind, behauptest Du
$0 [mm] \;\;\le\;\;q/2^p \red{\;\;\le\;\; |x-q/2^p|}$
[/mm]
1. Wieso sollte das gelten?
weiter:
> [mm] $...\;\;\le\;\; |1-q/2^p|$
[/mm]
also dann ist doch
[mm] $|1-q/2^p|=1-q/2^p,$
[/mm]
bei Dir ist ja [mm] $q/2^p \;\;\le\;\;1\,.$
[/mm]
Weiter:
> [mm] $|1-q/2^p|\;\;\le\;\;|1-1|\;\;=\;\;0\,.$
[/mm]
Und das tut nun richtig weh. Nach dieser Logik gibt es keine Zahlen außer
der Null im Intervall [mm] $[0,1]\,.$ [/mm] Denn:
Sei $x [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $\red{0 \;\;\le\;\;|0-x|\;\;\le\;\;|1-x|\;\;\le\;\;|1-1|=0\,.}$
[/mm]
(Das ist natürlich Unsinn - aber gerade das will ich ja demonstrieren, indem
ich hier analog zu Deinen Überlegungen vorgehe!)
Also ist [mm] $|x-0|=0\,,$ [/mm] also [mm] $x=0\,.$
[/mm]
> [mm]=>|x-\frac{q}{2^p}|=0\forall x\in[0,1].[/mm]
> => Behauptung
> Das erste Gleich: Bei q=0.
> Das vorletzte Gleich: Für [mm]q=2^p.[/mm]
Übrigens kannst Du Deine Aussage komplett vergessen: Wäre jede Zahl
in [mm] $[0,1]\,$ [/mm] in der Darstellung [mm] $q/2^p$ [/mm] darstellbar, so wäre $[0,1] [mm] \subseteq \IQ$ [/mm] und
damit insbesondere abzählbar.
Weiterhin: Betrachte [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}} \in [/mm] [0,1],$ diese Zahl hat keine Darstellung
in der gewünschten Form!
Daher: Nicht nur Deine Aussage ist total falsch, auch der Beweis dazu
ist total fehlerhaft (wie sollte es auch anders sein, wenn die Aussage
schon nicht stimmt).
Tipp, wenn man sowas betreibt:
Versuch' doch mal, mit einem konkreten Beispiel, die Abschätzungen im
Beweis auf Korrektheit zu prüfen. Ich selbst finde es eigentlich gar nicht
so schwer, mit Abschätzungen umzugehen, aber ich habe auch einiges an
Erfahrung darin. Wem die fehlt und bei dem, wie bei Dir, so mancher
Schnellschuss bei Abschätzungen passiert, und wo dann dennoch unklar
ist/bleibt, was denn da nicht stimmt: Meist erkennt man das, wenn man,
wie gesagt, an einem konreten Beispiel testet, ob da alles so funktioniert,
wie man es gerne hätte.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 24.11.2013 | | Autor: | Herbart |
OK. Da war ich allzu vorschnell. Ich habe mich wohl zu einem verlockend einfachen Weg hinreißen lassen. Die Aufgabe habe ich jetzt mit einem anderen Ansatz gelöst. Ich danke dir auf jeden Fall für deine praktischen Tipps und die schnelle Antwort.
MfG Herbart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Herbart,
> OK. Da war ich allzu vorschnell. Ich habe mich wohl zu
> einem verlockend einfachen Weg hinreißen lassen. Die
> Aufgabe habe ich jetzt mit einem anderen Ansatz gelöst.
??? Wie soll das denn gehen:
[mm] $[0,1]\,$ [/mm] ist überabzählbar!
Aber
[mm] $\{p/2^q:\;\; p,q \in \IN_0 \text{ und }p \le 2^q\}$
[/mm]
ist abzählbar:
[mm] $\{p/2^q:\;\; p,q \in \IN_0 \text{ und }p \le 2^q\}=\bigcup_{q \in \IN_0}\underbrace{\bigcup_{\substack{p \in \IN_0\\p \le 2^q}}\{p/2^q\}}_{=\{p/2^q:\;\;p \in \IN_0\text{ und }p\le2^q\}}$
[/mm]
Da steht eine ABZÄHLBARE Vereinigung [mm] ($\bigcup_{\blue{q \in \IN_0}}$) [/mm] ENDLICHER (und damit
insbesondere abzählbarer) Mengen [mm] ($\{p/2^q:\;\;p \in \IN_0\text{ und }p\le2^q\}$).
[/mm]
Du kannst keine überabzählbare Menge mithilfe einer abzählbaren
vollständig erfassen.
> Ich danke dir auf jeden Fall für deine praktischen Tipps
> und die schnelle Antwort.
Gerne, aber wie gesagt: Die Aufgabe ist so, wie Du sie gestellt hast,
unlösbar. Deswegen habe ich auch Deine Mitteilung hier nochmal zu einer
Frage umgestellt, damit Du diesen Hinweis aus meiner letzten Antwort in
dieser Antwort hier deutlicher wahrnimmst!
Gruß,
Marcel
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