Darstellung in Exponentialform < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Stellen Sie die folgenden Zahlen in Exponentialform und in der Gestalt x+i y dar: (1 - [mm] i)^{6} [/mm] ! |
Hallo,
nach langem hin und her Rechnen, komme ich immernoch nicht auf das richtige Ergebnis und brauche deshalb dringend Hilfe:
z= r * [mm] e^{i*f} [/mm] (f soll der Winkel sein). So, r= [mm] \wurzel{1² + (-1)²} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] . tan f = -1 / 1 und damit f = 3/4 [mm] \pi [/mm] .
Zusammen ergibt das dann:
z = [mm] 2^{0,5}^{6} [/mm] * [mm] e^{3/4 \pi * i}^{6} [/mm] = 8 * [mm] e^{9/2 \pi * i} [/mm]
leider ist das Ergebnis aber 8 [mm] e^{0,5 \pi * i} [/mm]
Und ich weiß auch nicht, wie ich auf die Gestalt x + iy kommen soll. Also ich verstehe wirklich die Aufgabe nicht, ist dann die gegebene Gestalt nicht bereits in der x+ iy Form?
Vielen, viele Dank für eure Hilfe!
Caro
|
|
| |
|
Hallo Caro,
> Stellen Sie die folgenden Zahlen in Exponentialform und in
> der Gestalt x+i y dar: (1 - [mm]i)^{6}[/mm] !
> Hallo,
>
> nach langem hin und her Rechnen, komme ich immernoch nicht
> auf das richtige Ergebnis und brauche deshalb dringend
> Hilfe:
> z= r * [mm]e^{i*f}[/mm] (f soll der Winkel sein). So, r= [mm]\wurzel{1² + (-1)²}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . tan f = -1 / 1 und damit f = 3/4 [mm]\pi[/mm] .
Nee, das passt nicht, diese Tangens- bzw. Arcustangensformel ist je nach Quadrant, in dem die Zahl liegt, ne etwas andere, schau's bei wikipedia nach, ich bin gerade zu faul, um das zu verlinken.
Aber zeichne dir doch mal die Zahl $w=1-i$ ein, dann siehst du direkt, welchen Winkel sie mit der x-Achse einschließt, nämlich [mm] $\phi=\frac{7}{4}\pi$ [/mm] (oder [mm] $-\frac{1}{4}\pi$)
[/mm]
Schreibe [mm] $z=(1-i)^6=w^6$
[/mm]
Dann hast du [mm] $|w|=\sqrt{2}$ [/mm] richtig berechnet, [mm] $Arg(w)=\frac{7}{4}\pi$
[/mm]
Damit ist [mm] $w=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{7}{4}\pi}$
[/mm]
Also [mm] $w^6=\left(\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{7}{4}\pi}\right)^6=\left(\sqrt{2}\right)^6\cdot{}e^{6\cdot{}\frac{7}{4}\pi}=8\cdot{}e^{\frac{21}{2}\pi}$
[/mm]
Winkel betrachten wir [mm] $mod(2\pi)$, [/mm] also ist das [mm] $=8\cdot{}e^{\frac{1}{2}\pi}$
[/mm]
> Zusammen ergibt das dann:
> z = [mm]2^{0,5}^{6}[/mm] * [mm]e^{3/4 \pi * i}^{6}[/mm] = 8 * [mm]e^{9/2 \pi * i}[/mm]
> leider ist das Ergebnis aber 8 [mm]e^{0,5 \pi * i}[/mm]
> Und ich weiß auch nicht, wie ich auf die Gestalt x + iy
> kommen soll. Also ich verstehe wirklich die Aufgabe nicht,
> ist dann die gegebene Gestalt nicht bereits in der x+ iy
> Form?
Nein, da steht doch [mm] $(1-i)^6$ [/mm]
Wie wäre es mit elementaren Potenzgesetzen: [mm] $(1-i)^6=\left[(1-i)^2\right]^3$
[/mm]
Berechne mal das Quadrat, dann hast du auch blitzschnell das "hoch 6" und damit die Zahl in der gewünschten Normaldarstellung
> Vielen, viele Dank für eure Hilfe!
> Caro
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal danke für die ausführliche Antwort, ich verstehe auch alles bis zur Stelle
[mm] w^{6}=8*e{21/2 \pi} [/mm] - bis dahin ist alles klar.
den Schritt "Winkel betrachten wir mod(2 [mm] \pi [/mm] )" verstehe ich allerdings nicht. Also das hab ich ehrlich gesagt auch noch nie gesehen :( Tut mir wirklich Leid, Mathe ist nicht so meine Stärke.
Trotzdem vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort
|
|
|
| |
|
> ich verstehe alles bis zur Stelle
> [mm]w^{6}=8*e{21/2 \pi}[/mm] - bis dahin ist alles klar.
> den Schritt "Winkel betrachten wir mod(2 [mm]\pi[/mm] )" verstehe
> ich allerdings nicht.
hallo Caro,
Der Winkel [mm] \bruch{21}{2} \pi [/mm] wäre in Grad [mm] \bruch{21}{2}*180°=1890°.
[/mm]
Das sieht etwas ungewohnt aus, bedeutet aber einfach, dass der Winkel einige Mal
ringsherum dreht. 1800° =5*360° (oder [mm] 5*2\pi) [/mm] wären 5 volle Umdrehungen.
Dann kommen noch 90° dazu. Wenn man bei 0° (positive x-Richtung) ange-
fangen hat, landen wir nach 5 vollen Umdrehungen wieder bei der positiven
x-Richtung und mit den zusätzlichen 90° haben wir am Schluss einen Zeiger,
der in y-Richtung nach oben zeigt. Das heisst, dass das Ergebnis [mm] z=(1-i)^6
[/mm]
eine rein imaginäre Zahl ist. Den Betrag |z|=8 hattest du schon, also muss
offenbar z=8i sein.
Der Ausdruck "modulo" oder "mod" steht einfach für die beschriebene
Reduktion von Winkeln auf den Bereich zwischen 0° und 360°; man
schreibt:
1890° mod 360° = 90° oder [mm] \bruch{21}{2} \pi [/mm] mod [mm] 2\pi [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pi [/mm]
ein etwas anderes Beispiel:
Jetzt schlägt es gerade zehn Uhr . Welche Uhrzeit ist es genau nach 100 Stunden ?
100 Stunden sind 4*24+4 Stunden oder 4Tage und 4 Stunden. Nach 100 h
ist es also (Donnerstag) 10+4 = 14 Uhr:
10+100 = 14 (modulo 24)
oder, wenn man nur das Zifferblatt anschaut und sich nicht darum kümmert, ob
es Tag oder Nacht (englisch a.m. oder p.m.) ist:
10+100 = 2 (modulo 12)
LG
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (i - [mm] \wurzel{3})^{8} [/mm] |
Hallo,
ich dachte eigentlich, dass ich das Prinzip verstanden habe, aber komme schon wieder bei einer Aufgabe nicht weiter, aber diesmal bin ich der Sache (denke ich zu mindest) näher:
r=2 (ergibt sich aus [mm] \wurzel{3+1}), [/mm] ich denke das ist klar.
Dann habe ich die empfohlene Tangensformal bei Wikipedia rausgesucht, die für diesen Fall:
f (der Winkel) = arctan (Im/Re) + [mm] \pi [/mm] ist, weshalb ich auf einen Winkel von f= [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] + [mm] \pi [/mm] = [mm] \bruch{7}{6} \pi [/mm] komme.
Jetzt noch in Exponentialform wäre:
[mm] 2^{8}*e^{i* \bruch{7}{6} \pi * 8} [/mm] = 256 * [mm] e^{28/3 \pi * i}
[/mm]
Dann mod 2 [mm] \pi [/mm] wäre 4/3 [mm] \pi [/mm] * i als Exponent.
Leider ist mein Ergebnis falsch, da die Lösung des Exponents 2/3 [mm] \pi [/mm] * i beträgt.
Was habe ich denn schon wieder falsch gemacht?
Danke, danke, danke für eure Hilfe!
Viele Grüße
Caro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 09.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
[mm](i - \wurzel{3})^{8}[/mm]
> ich dachte eigentlich, dass ich das Prinzip verstanden
> habe, aber komme schon wieder bei einer Aufgabe nicht
> weiter, aber diesmal bin ich der Sache (denke ich zu
> mindest) näher:
>
> r=2 (ergibt sich aus [mm]\wurzel{3+1}),[/mm] ich denke das ist
> klar.
> Dann habe ich die empfohlene Tangensformal bei Wikipedia
> rausgesucht, die für diesen Fall:
> f (der Winkel) = arctan (Im/Re) + [mm]\pi[/mm] ist, weshalb ich auf
> einen Winkel von f= [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] + [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{7}{6} \pi[/mm]
> komme.
Das kann nicht stimmen, male es dir mal auf: der Realteil [mm] ($-\sqrt{3}$) [/mm] ist negativ, der Imaginärteil (1) positiv. Also liegt der Punkt im zweiten Quadranten, und der Winkel muss zwischen [mm] $\pi/2$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] liegen.
Rechnen wir nochmal:
[mm] \phi = \arctan(\bruch{1}{-\sqrt{3}}) +\pi = \red{-}\bruch{\pi}{6} +\pi = \bruch{5}{6} \pi[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 06.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1-i ist in der Form x+iy aber [mm] (1-i)^6 [/mm] ja noch nicht mehr!
also nimm dein Ergebnis und form es noch in x+iy um.
Gruss leduart
|
|
|
|
