Darstellung SU(2) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hallo zusammen,
das Folgende ist sicherlich nicht besonders schwierig, aber immer wenn ich sowas lese wie
"Jede komplexwertige Matrix der speziellen unitären Gruppe SU(2) kann als Element von [mm] \IC^4 [/mm] aufgefasst werden."
verstehe ich nie wirklich, ob man mit "auffassen als" etwa meint, dass es einen Isomorphismus zwischen den beiden gibt, oder man das irgendwie anders meint. Wenn die Sache mit dem Isomorphismus stimmt, muss man ja einen konkret angeben können.
SU(2) [mm] \subset \IC^{2 \times 2} \cong \IC^4
[/mm]
Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank und viele Grüße,
Laura
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[mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \mapsto \ \left( a,b,c,d \right)[/mm]
Das ist rein mengentheoretisch gemeint. Mehr nicht. Ob man jetzt die vier Zahlen [mm]a,b,c,d[/mm] zu einer Matrix oder einem Tupel anordnet ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Laura22 |
Vielen Dank für deine Antwort! :)
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Hallo,
ganz so wie Leopold sehe ich das nicht.
Wenn ich ein Element von SU(2) gegeben habe, und dieses als Menge betrachte, wie soll ich dann damit rechnen können? Also so einfach ist die Sache nicht.
Du hast schon Recht mit deiner Annahme, dass es einen Isomorphismus geben sollte. Den findet man aber auch sehr leicht, wenn du folgendes bedenkst:
Betrachten wir zunächst einen Vektor [mm] \vektor{a\\b}. [/mm] Wie könnte man den wohl als komplexe Zahl darstellen? Es liegt auf der Hand zu sagen, dass dieser als a+bi darzustellen sei.
Nun überlege, wie man das auf Matrizen ausdehnen kann. Zur Hilfe: Quaternionen können da auch helfen.
letztendlich hat man [mm] M_4(\IR)\cong\mathbb{H}\cong\IC^4\cong\IC^2\otimes\IC^2
[/mm]
Folgendes könnte helfen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Andere_Konstruktionen
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