Darstellende Matrix r Abbild. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man ermittle die darstellende Matrix A = M(F) mit den angegebenen Basen
A und B. In den einzelnen Beispielen bezeichnet K die kanonische Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] :
[mm] V=W=\IR^{3} [/mm] A=B=K [mm] F\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{x+2y(minus)z \\ 2x+y+z \\ x(minus)y+2z} [/mm] v = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
|
Also meiner Meinung nach ist
A=B=K= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
A und B sind Basis und K ist kanonische Basis. Stimmt das, was ich geschrieben habe? Wie berechne ich dann diese Matrize?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Man ermittle die darstellende Matrix A = M(F) mit den
> angegebenen Basen
> A und B. In den einzelnen Beispielen bezeichnet K die
> kanonische Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] :
>
> [mm]V=W=\IR^{3}[/mm] A=B=K [mm]F\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] =
> [mm]\vektor{x+2y-z \\ 2x+y+z \\ x-y+2z}[/mm] v =
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Also meiner Meinung nach ist
>
> A=B=K= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> A und B sind Basis und K ist kanonische Basis. Stimmt das,
> was ich geschrieben habe? Wie berechne ich dann diese
> Matrize?
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Matrix heißt das. Eine Matrize ist was anderes...
Zur Sache:
Das ist hier sehr leicht, da Deine Basis die Standardbasis ist.
Ermittle die Bilder der Basisvektoren und stecke sie als Spalten in die darstellende Matrix. Fertig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Tut mir leid für das Wort, heute habe ich nach so vielen Sachen gedacht. Und auch danke sehr für die Antwort, also meinst du so was?:
[mm] F=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] F=(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] F=(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Und dann bekommen wir:
Basis = [mm] \vektor{1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Basis = [mm]\vektor{1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2}[/mm]
Genau.
Jetzt sollst Du sicher noch das Bild des Vektors v ausrechen, das bekommst Du, indem Du ihn mit dieser Matrix multiplizierst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
OK, danke sehr, ich habe alles verstanden, aber noch eine Frage dazu. Sagen wir, dass B' auch eine Basis ist, z.B.:
[mm] A'=B'=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
das ist auch eine Basis. Ist wieder dieselbe Weise die Matrix zu finden oder?
Neue Matrix = [mm] \vektor{3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 1} [/mm] ???
|
|
|
| |
|
> OK, danke sehr, ich habe alles verstanden, aber noch eine
> Frage dazu. Sagen wir, dass B' auch eine Basis ist, z.B.:
>
> [mm]A'=B'=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> das ist auch eine Basis. Ist wieder dieselbe Weise die
> Matrix zu finden oder?
>
> Neue Matrix = [mm]\vektor{3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 1}[/mm]
> ???
Nein, das ist nicht richtig.
Du mußt den Ergebnisvektor dann jeweils als Linearkombination dieser neuen Basis ausdrücken,
also z.B.
[mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})=\vektor{3 \\ 3 \\ 0}=3*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=\vektor{3 \\ 0 \\ 0}_{B'},
[/mm]
und dieser letzte Vektor würde als erste Spalte in Deine Matrix gehören.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also:
[mm] F(\vektor{1 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] = [mm] 0.\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 0.\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] 3.\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
=> die zweite spalte ist: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] F(\vektor{0 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
=> die dritte spalte ist: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Also die neue Matrix ist dann:
[mm] (M_{B})^A [/mm] = [mm] \vektor{3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe das nicht nachgerechnet, aberes sieht so aus, als hättest Du gut verstanden, wie es geht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Man bestimme Kern(F) und Bild(F) durch die Angabe einer Basis dieser Vektorräume. |
Danke dir, sehr viel für diese Erklärungen ... Kannst du mir auch bei diesem Teil helfen - wie muss ich Kern und Bild von F berechnen durch einer Basis dieser Vektorräume???
Ah und noch etwas, sag mal nur wo du lebst, ich komme und kaufe dir so viel Bier, wie du willst :D:D:D ;););).
|
|
|
| |
|
> Man bestimme Kern(F) und Bild(F) durch die Angabe einer
> Basis dieser Vektorräume.
Hallo.
das Bild ist der Raum, der v. den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird.
Nehmen wir mal [mm] \pmat{ 1 & 2&1 \\ 1&3 & 2\\ 1&5&4},
[/mm]
dann ist das Bild [mm] <\vektor{1 \\ 1\\1}, \vektor{2 \\ 3\\5}, \vektor{1 \\ 2\\4}>.
[/mm]
Die Bestimmung einer Basis steht jedoch noch aus.
Entweder guckst Du in "Handarbeit", welche dieser Vektoren linear unabhängig sind, man sieht ohne Rechnung, daß hier der 1. und 2. es sind. Nun prüft man, ob die Menge mit dem dritten auch noch linear unabhängig ist - da wird man enttäuscht.
Also ist [mm] (\vektor{1 \\ 1\\1}, \vektor{2 \\ 3\\5}) [/mm] eine Basis des Bildes.
Andere Möglichkeit:
umformen in Zeilenstufenform ergibt
[mm] \pmat{ 1 & 2&1 \\ 0&1 & 1\\ 0&0&0}, [/mm] man sieht, daß man auf den letzten Vektor verzichten kann für die Basis des Bildes.
Andere Möglichkeit:
Die Matrix kippen [mm] \pmat{ 1 & 1&1 \\ 2&3 & 5\\ 1&2&4} [/mm] und in Zeilenstufenform bringen: [mm] \pmat{ 1 & 1&1 \\ 0&1 & 3\\ 0&0&0},
[/mm]
==> [mm] (\vektor{1 \\ 1\\1}, \vektor{0 \\ 1\\3}) [/mm] sind eine basis des Bildes.
Für den Kern ist das GS Matrix *x=0 zu lösen.
der Lösungsraum ist der Kern der Matrix, das habt Ihr bestimmt ausführlich gemacht.
> Ah und noch etwas, sag mal nur wo du lebst, ich komme und
> kaufe dir so viel Bier, wie du willst :D:D:D ;););).
Wo ich lebe, siehst Du ja - das mit dem Bier lassen wir lieber: ich mag das nicht. Kannst ja eine Dose auf mein Wohl trinken!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
