Darstellende Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung [mm] L:\IR^{5}\to\IR^{4} [/mm] = gegeben durch
L [mm] \begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\
x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x5\\
2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\
3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}
\end{pmatrix}
[/mm]
(a) Prüfen Sie, ob die Abbildung linear ist.
(b) Bestimmen sie die Darstellende Matrix.
(c) Begründen sie, ob die folgende Behauptung richtig ist:
Eine lineare Abbildung bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kann leider nicht viel mit der Aufgabe anfangen aber werde sehr dankbar für Tips sein die mir helfen können diese Aufageb zu lösen!
b) L : [mm] R_{5} \to R_{4}= [/mm] gegeben durch
L [mm] \begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\
x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x5\\
2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\
3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}
\end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}
1.x_{1}+ 2.x_{2}+0.x_{3}+4.x_{4}-1.x_{5}\\
0.x_{1}+1.x_{2}+1.x_{3}+4.x_{4}-1.x_{5}\\
2.x_{1}+1.x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+1.x_{5}\\
3.x_{1}+2x_{2}-4.x_{3}+8.x_{4}+1.x_{5}\\
\end{pmatrix} [/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}
1&2&0&4&-1\\
0&1&1&4&-1\\
2&1&-3&5&1\\
3&2&-4&8&1\\
\end{pmatrix}
[/mm]
. [mm] \begin{pmatrix}
x1\\
x2\\
x3\\
x4\\
x5\\
\end{pmatrix}
[/mm]
oder was soll ich weiter machen?!habe wirklich kein Plan
und was betrifft die lineare Abbildung:
Ich weiss dass eine Abbildung [mm] L:IR^n->IR^m [/mm] heisst linear ,wenn für alle x,y [mm] \in\ [/mm] IR gilt
L(x+y)=L(x)+L(y)
[mm] L(\alpha \x)=\alpha \L(x)
[/mm]
Aber wie soll ich es hier beweisen???
Lg Maya
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> Gegeben sei die Abbildung [mm] L:\IR^{5}\to\IR^{4} [/mm] = gegeben
> durch
>
>
> L [mm]\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\
x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x5\\
2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\
3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> (a) Prüfen Sie, ob die Abbildung linear ist.
>
> (b) Bestimmen sie die Darstellende Matrix.
>
> (c) Begründen sie, ob die folgende Behauptung richtig ist:
> Eine lineare Abbildung bildet stets den Nullvektor auf den
> Nullvektor ab.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich kann leider nicht viel mit der Aufgabe anfangen aber
> werde sehr dankbar für Tips sein die mir helfen können
> diese Aufageb zu lösen!
>
> b) L : [mm]R_{5} \to R_{4}=[/mm] gegeben durch
>
>
> L [mm]\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\
x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x5\\
2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\
3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> = [mm]\begin{pmatrix}
1.x_{1}+ 2.x_{2}+0.x_{3}+4.x_{4}-1.x_{5}\\
0.x_{1}+1.x_{2}+1.x_{3}+4.x_{4}-1.x_{5}\\
2.x_{1}+1.x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+1.x_{5}\\
3.x_{1}+2x_{2}-4.x_{3}+8.x_{4}+1.x_{5}\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]\begin{pmatrix}
1&2&0&4&-1\\
0&1&1&4&-1\\
2&1&-3&5&1\\
3&2&-4&8&1\\
\end{pmatrix}[/mm]. [mm]\begin{pmatrix}
x1\\
x2\\
x3\\
x4\\
x5\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> oder was soll ich weiter machen?!habe wirklich kein Plan
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Jetzt schreibst Du:
b) also ist [mm] A:=\begin{pmatrix}
1&2&0&4&-1\\
0&1&1&4&-1\\
2&1&-3&5&1\\
3&2&-4&8&1\\
\end{pmatrix}
[/mm]
die darstellende Matrix der Abbildung.
>
> und was betrifft die lineare Abbildung:
> Ich weiss dass eine Abbildung [mm]L:IR^n->IR^m[/mm] heisst linear
> ,wenn für alle x,y [mm]\in\[/mm] IR gilt
> L(x+y)=L(x)+L(y)
> [mm]L(\alpha \x)=\alpha \L(x)[/mm]
>
> Aber wie soll ich es hier beweisen???
Mach Dir zunutze, was Du herausgefunden hast:
es ist L(x)=Ax,
also ist L(x+y)=A(x+y), und nun verwendest Du, was Du übers Rechnen mit Matrizen gelernt hast.
Gruß v. Angela
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Oh Danke schön für die schnelle Antwort
ja genau da liegt mein problem wiie soll ich es zeigen? muss ich hier überhaupt x1,x2,x3,x4 und x5 berechnen ??? ist mir nicht so richtig klar?
Und ist [mm] A:\begin{pmatrix}
1&2&0&4&-1\\
0&1&1&4&-1\\
2&1&-3&5&1\\
3&2&-4&8&1\\
\end{pmatrix} [/mm]
richtig und die Lösung für b)!
Mfg Maya
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
> Oh Danke schön für die schnelle Antwort
>
> ja genau da liegt mein problem wiie soll ich es zeigen?
> muss ich hier überhaupt x1,x2,x3,x4 und x5 berechnen ???
> ist mir nicht so richtig klar?
>
> Und ist [mm]A:\begin{pmatrix}
1&2&0&4&-1\\
0&1&1&4&-1\\
2&1&-3&5&1\\
3&2&-4&8&1\\
\end{pmatrix}[/mm]
> richtig und die Lösung für b)!
>
Ja, das ist die darstellende Matrix. Denn du hast ja genau gezeigt, dass dein Gleichungssystem so dargestellt werden kann. Du hast doch erst die Summen dort darstehen gehabt, und hast das jetzt in der From [mm] $\vec{x} \rightarrow A\vec{x}$ [/mm] geschrieben. Und A ist dann die darstellende Matrix.
So, und jetzt nimmst du dir zwei allgemeine Vektoren [mm] $\vec{x}=\pmat{x1\\x2\\x3\\x4\\x5}$ [/mm] her und einen entsprechenden Vektor [mm] $\vec{y}$, [/mm] und Rechnest dann [mm] $\vec{x}+\vec{y}$ [/mm] aus, und multiplizierst das mit A. Dann ein bisschen die Variablen nach x und y auseinanderschreiben, und dann zeigen, dass man das als Ax+Ay schreiben kann. Dann hast du die eine Bedingung schonmal hingeschrieben.
Dann nur noch di ezweite Bedinung [mm] $A(\lambda x)=\lambda [/mm] Ax$ zeigen, und dann bist du mit der Linearität fertig.
LG
Kroni
> Mfg Maya
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Danke schön!Ich glaube hab es verstanden.
Also L(x)+L(y)=L(x+y)
[mm] \vec x=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\\x_{4}\\x_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\3\\1 \end{pmatrix} [/mm] und
[mm] \vec y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\\y_{4}\\y_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\1\\3\end{pmatrix} [/mm]
[mm] L\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\x_{2}+x_{3}+4_{x4}-x_{5}\\2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}\end{pmatrix}+L\begin{pmatrix}y_{1}+2y_{2}+4y_{4}-y_{5}\\y_{2}+y_{3}+4_{y4}-y_{5}\\2y_{1}+y_{2}-3y_{3}+5y_{4}+y_{5}\\3y_{1}+2y_{2}-4y_{3}+8y_{4}+y_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] =L\begin{pmatrix}16\\14\\17\\28\end{pmatrix}+L\begin{pmatrix}15\\4\\9\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\18\\26\\40\end{pmatrix}=L\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}+y_{1}+2y_{2}+4y_{4}-y_{5}\\x_{2}+x_{3}+4_{x4}-x_{5}+y_{2}+y_{3}+4_{y4}-y_{5}\\2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}+2y_{1}+y_{2}-3y_{3}+5y_{4}+y_{5}\\3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}+3y_{1}+2y_{2}-4y_{3}+8y_{4}+y_{5}\end{pmatrix}=L(x+y)
[/mm]
genauso habe ich es bewiesen für [mm] L(\alpha\ x)=\alpha\ [/mm] L(x)
Jetzt ist mir nur c) geblieben
Begründen Sie ob die folgende Behauptung richtig ist:
Eine lineare Abbildung bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab.
Was ist damit gemeint und wie kann ich es beweisen?
Mfg Maya
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Soll ich vielleicht für [mm] \vec x\begin{pmatrix}x_{1}\\x{2}\\x_{3}\\x{4}\\x{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix} [/mm] und dann in [mm] \begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4x_{4}-x_{5}\\.................................\\...................................\\3x_1+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] $O:\IR^4\mapsto\IR^5;x\mapsto [/mm] 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 18.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo maia
Entweder habt ihr in der Vorlesung schon bewiesen , dass Matrizen lineare Abb sind oder du du musst es hier mit ALLGEMEINEN Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] machen. Zahlen einsetzen darfst du nicht, dann hast dus ja nur genau für die 2 speziellen und nicht für alle bewiesen. also x und y stehen lassen. das ist kaum ne Rechnung, nur Schreibarbeit.
zu c) wenn die Def. von linear gilt ist L(0)=0
auch das ist einfach aus der Linearität zu folgern: wie ist 0 definiert? [mm] \vec{0}=\vec{x}+\vec{y} [/mm] nur wenn [mm] \vec{y}=-\vec{x}
[/mm]
oder wenn 0 nicht auf o abgebildet wird was würde dann die lin Abb mit x+0 =x machen?
Gruss leduart
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Hallo
Ich weiss nicht wie ich es bweisen soll.Habe verschiedene Antworten auf meine Fragen bekommen.
Aber ich glaube nicht alle Matrizen sind linear abhängig wie du es geschrieben hast ,sonst musste es man doch nicht beweisen!?oder habe ich da was falsch verstanden.Wie soll ich es dann ohne Zahlen beweisen?Jetzt habe ich wirklich keine Ahnung!
Lg Maya
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
leduart meinte nicht, dass alle Matrizen linear Abhängig sind, sondern dass sie lineare Abbildungen sind (das kann man zeigen).
Nimm dir doch enfach allgemeine Vekoren her, wie ichs oben geschrieben habe, und rechn mit denen, als seine es Zahlen.
Zb so:
[mm] $A:=\pmat{1&2\\3&4}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}=\pmat{x1\\x2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $Ax=\pmat{x1+2x2\\3x1+4x2}$
[/mm]
Das machst du jetzt mit deiner Matrix, und zeigst dann, dass A(x+y)=Ax+Ay gilt und A(cx)=c(Ax). Dann bist du fertig.
Ist es jetzt verständlich?
LG
Kroni
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Ok Dann versuche ich es noch mal.Hoffentlich jetzt ist es richtig.Glube meine fragen kommen bisschen dumm vor.Aber ich löse solche Aufgaben zum ersten Mal.Danke für die schnelle Antworten!
A:= [mm] \begin{pmatrix}1&2&0&4&-1\\0&1&1&4&-1\\2&1&-3&5&1\\3&2&-4&8
&1\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec x=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec y=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
Ax= [mm] \begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4_x{4}-x_{5}\\x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x_{5}\\2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
Ay= [mm] \begin{pmatrix}y_{1}+2y_{2}+4_y{4}-y_{5}\\y_{2}+y_{3}+4y_{4}-y_{5}\\2y_{1}+y_{2}-3y_{3}+5y_{4}+y_{5}\\3y_{1}+2y_{2}-4y_{3}+8y_{4}+y_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] A(x)+A(y)=\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4_x{4}-x_{5}\\x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x_{5}\\2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_{1}+2y_{2}+4_y{4}-y_{5}\\y_{2}+y_{3}+4y_{4}-y_{5}\\2y_{1}+y_{2}-3y_{3}+5y_{4}+y_{5}\\3y_{1}+2y_{2}-4y_{3}+8y_{4}+y_{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}+2x_{2}+2y_{2}+4_x{4}+4_y{4}-x_{5}-y_{5}\\ x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}+4x_{4}+4y_{4}-x_{5}-y_{5}\\2x_{1}+2y_{1}+x_{2}-y_{2}-3x_{3}-3y_{3}+5x_{4}+5y_{4}+x_{5}+y_{5}\\3x_{1}+3y_{1}+2x_{2}+2y_{2}-4x_{3}-4y_{3}+8x_{4}+8x_{4}+x_{5}+y_{5}\end{pmatrix}=A(x+y)
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
Lg Maya
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[mm]A(x)+A(y)=\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4_x{4}-x_{5}\\x_{2}+x_{3}+4x_{4}-x_{5}\\2x_{1}+x_{2}-3x_{3}+5x_{4}+x_{5}\\3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+8x_{4}+x_{5}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_{1}+2y_{2}+4_y{4}-y_{5}\\y_{2}+y_{3}+4y_{4}-y_{5}\\2y_{1}+y_{2}-3y_{3}+5y_{4}+y_{5}\\3y_{1}+2y_{2}-4y_{3}+8y_{4}+y_{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}+2x_{2}+2y_{2}+4_x{4}+4_y{4}-x_{5}-y_{5}\\ x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}+4x_{4}+4y_{4}-x_{5}-y_{5}\\2x_{1}+2y_{1}+x_{2}-y_{2}-3x_{3}-3y_{3}+5x_{4}+5y_{4}+x_{5}+y_{5}\\3x_{1}+3y_{1}+2x_{2}+2y_{2}-4x_{3}-4y_{3}+8x_{4}+8x_{4}+x_{5}+y_{5}\end{pmatrix}=A(x+y)[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
Das ist richtig.
Ich würde als vorletzten Schritt noch
[mm] \begin{pmatrix}(x_{1}+y_{1})+2((x_{2}+y_{2})+4(x_{3}+y_{3})-(x_{5}+y_{5})\\...\\...\\...\end{pmatrix}
[/mm]
zwischenschieben.
Es würde schon erwähnt: wenn Ihr bereits gezeigt habt, daß f(x):=Ax linear ist, kannst Du Dir das sparen.
Gruß v. Angela
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Hallo
Danke schön!
Ich habe eine letzte Frage.In a) soll ich prüfen ob die Abbildung linear ist und in b) die darstellende Matrix bestimmen.Meine Frage ist muss ich in a) sowieso dastellende Matrix bestimmen damit ich beweise das Lx+Ly=L(x+y) da [mm] L(x)=A_{L}x
[/mm]
oder es geht auch ohne und ich kann genauso y einsetzen und zeigen das L(x+y)=L(x+y)
Hoffentlich es ist klar was ich meine :)
Lg Maya
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> Ich habe eine letzte Frage.In a) soll ich prüfen ob die
> Abbildung linear ist und in b) die darstellende Matrix
> bestimmen.Meine Frage ist muss ich in a) sowieso
> dastellende Matrix bestimmen damit ich beweise das
> Lx+Ly=L(x+y) da [mm]L(x)=A_{L}x[/mm]
> oder es geht auch ohne und ich kann genauso y einsetzen
> und zeigen das L(x+y)=L(x+y)
> Hoffentlich es ist klar was ich meine :)
Hallo,
ich glaube, ich habe es verstanden.
Ich sehe zwei sinnvolle Möglichkeiten:
1. Du rechnest in a) stumpf die Linearität vor, ohne die Matrix ins Spiel zu bringen, und bestimmst in b) die Matrix.
2. Du drehst die Sache um. Machst erst b), indem Du zeigst, daß L(x)=Ax ist, sagst, daß A die darstellende Matrix ist und berufst Dich dann (natürlich nur, wenn Ihr das schon hattet) auf die Linearität von L(x):=Ax.
Gruß v. Angela
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Hallo
Also dann in aufgabe a ) nehme die Vektoren x und y und einsetze die In L so wie ich es gemacht habe und zeige das L(x+y)=L(x)+(y).Meinte ich kann es genauso machen ohne A zu bestimmen.Hoffe man versteh jetzt was ich frage und dann in b) finde ich darstellende Matrix und zeige das L(x)= [mm] A_{L}x.Aber [/mm] braucht mn das überhaupt?
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> Hallo
> Also dann in aufgabe a ) nehme die Vektoren x und y und
> einsetze die In L so wie ich es gemacht habe und zeige
> das L(x+y)=L(x)+(y).Meinte ich kann es genauso machen ohne
> A zu bestimmen.
Ja, A brauchst Du dafür nicht.
Dann mußt Du natürlich auch das Produkt noch zeigen.
> dann in b) finde ich darstellende Matrix und zeige das
> L(x)= [mm]A_{L}x.Aber[/mm] braucht man das überhaupt?
Die matrix mußt Du in b) schon hinschreiben, das ist ja die Aufgabe.
Du schreibst einfach: es ist L(x)= $ [mm] \begin{pmatrix} 1&2&0&4&-1\\ 0&1&1&4&-1\\ 2&1&-3&5&1\\ 3&2&-4&8&1\\ \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \*$ \begin{pmatrix} x1\\ x2\\ x3\\ x4\\ x5\\ \end{pmatrix} [/mm] $,
also ist die matrix die darstellende Matrix.
Mehr brauchst Du da nicht.
Gruß v. Angela
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