Darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
[mm] $b_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1}, b_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1} \in \IR^2$ [/mm]
[mm] $c_1 [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\-1}, c_2= \vektor{1\\0\\3}, c_3 [/mm] = [mm] \vektor{-1\\2\\1} \in \IR^3$
[/mm]
Die lineare Abbildung [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^3$ [/mm] sei definiert durch
[mm] $\phi [/mm] : [mm] \vektor{1\\0} \mapsto \vektor{0\\2\\3}; \vektor{0\\1} \mapsto \vektor{1\\-2\\0}$$
[/mm]
Bestimmen sie die darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der Basen B = [mm] (b_1,b_2) [/mm] und C = [mm] (c_1,c_2,c_3).
[/mm]
Welche Koordinaten hat der Bildvektor von $v = [mm] \vektor{5\\3}$ [/mm] bezüglich der Basis C?
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Hoi.
Ich habe hier die Lösung. Kann se aber nicht wirklich nachvollziehen. Diese Basenschreibweise verstehe ich nicht.
Beim Schreiben der Aufgabe sind mir gerade einige Lichter aufgegangen, den Lösungstext lösche ich jetzt nicht, aber folgende Fragen bleiben noch übrig: Wie kommt man auf folgende Formeln
[mm] $[\phi]^B_C [/mm] = [mm] [id_{\IR^3}]^C_{E_3} [/mm] * [mm] [\phi]^{E_2}_{E_3}*[id_{\IR^2}]^B_{E_2}$ [/mm]
und
[mm] $[W_c] [/mm] = [mm] [id_{\IR^3}]^{E_3}_C [/mm] * [mm] [w]_{E_3}$
[/mm]
die stehen weiter unten im Lösungstext. Auf irgendeiner Formel müssen die doch basieren. Ich finde aber nichts dazu was mir erklärt wie ich auf die Formeln komm.
Zu erst haben wir sichergestellt, das die Vektoren [mm] $b_1,b_2$ [/mm] linear unabhängig sind, das Gleiche für [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] Schreibe ich jetzt nicht auf. Ich hoffe, ihr verzeiht mir das
Auf einmal zaubern wir die Formel [mm] $[\phi]^B_C [/mm] = [mm] [id_{\IR^3}]^C_{E_3} [/mm] * [mm] [\phi]^{E_2}_{E_3}*[id_{\IR^2}]^B_{E_2}$ [/mm] hervor.
wie man überhaupt hier auf die Idee kommt, [mm] id_{\IR^3} [/mm] zu benutzen, ist mir unverständlich. Aber ok.
Wir definieren dann einzeln
[mm] $[id_{\IR^3}]^C_{E_3} [/mm] =: [mm] S^{-1}$
[/mm]
[mm] $[\phi]^{E_2}_{E_3} [/mm] =: A$
[mm] $[id_{\IR^2}]^B_{E_2} [/mm] =:T$
[mm] $E_2 [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1} \}, E_3 [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} \}$
[/mm]
[mm] $S:=[id_{\IR^3}]^C_{E_3} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1}$
[/mm]
Wie man darauf kommt weiß ich nicht. Sehen tue ich zwar, dass S = [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] ist, ja, aber was das hochgestellte C mit dem Index [mm] E_3 [/mm] zu bedeuten hat, weiß ich nicht.
Dan haben wir [mm] S^{-1} [/mm] berechnet, das erspare ich euch auch mal
[mm] $S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {1/3 & 2/9 & -1/9 [mm] \\ [/mm] 1/6 & -1/18 & 5/18 [mm] \\ [/mm] -1/6 & 7/18 & 1/18}$
$A = [mm] [\phi]^{E_2}_{E_3} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 1 \\ 2& -2 \\ 3 & 0}$
[/mm]
Das kann ich auch noch aus der Aufgabe ablesen
$T = [mm] [id_{\IR^2}]^B_{E_2} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 1 \\ 1 & -1}$
[/mm]
[mm] $[\phi]^B_C [/mm] = [mm] S^{-1}AT [/mm] = [mm] S^{-1} \pmat{1&-1\\0&4\\3&3} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 2/9 \\ 1 & 4/9 \\ 0 & 17\9}$
[/mm]
[mm] $\phi(\vektor{5\\3}) [/mm] = [mm] 5*\vektor{0\\2\\3} [/mm] + [mm] 3*\vektor{1\\-2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{3\\4\\15} [/mm] = w = [mm] [w]_{E_3}$
[/mm]
Soweit so gut. Aber jetzt kommts
[mm] $[W_c] [/mm] = [mm] [id_{\IR^3}]^{E_3}_C [/mm] * [mm] [w]_{E_3} [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] * [mm] \vektor{3\\4\\15} [/mm] = [mm] \vektor{2/9\\40/9\\17/9}$
[/mm]
Gruß
Wehm
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> Gegeben seien die Vektoren
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> [mm]b_1 = \vektor{1\\1}, b_2 = \vektor{1\\-1} \in \IR^2[/mm]
>
> [mm]c_1 = \vektor{2\\1\\-1}, c_2= \vektor{1\\0\\3}, c_3 = \vektor{-1\\2\\1} \in \IR^3[/mm]
>
> Die lineare Abbildung [mm]\phi : \IR^2 \to \IR^3[/mm] sei definiert
> durch
>
> [mm]$\phi[/mm] : [mm]\vektor{1\\0} \mapsto \vektor{0\\2\\3}; \vektor{0\\1} \mapsto \vektor{1\\-2\\0}$$[/mm]
>
> Bestimmen sie die darstellende Matrix von [mm]\phi[/mm] bezüglich
> der Basen B = [mm](b_1,b_2)[/mm] und C = [mm](c_1,c_2,c_3).[/mm]
>
> Welche Koordinaten hat der Bildvektor von [mm]v = \vektor{5\\3}[/mm]
> bezüglich der Basis C?
>
> aber
> folgende Fragen bleiben noch übrig: Wie kommt man auf
> folgende Formeln
>
> [mm][\phi]^B_C = [id_{\IR^3}]^C_{E_3} * [\phi]^{E_2}_{E_3}*[id_{\IR^2}]^B_{E_2}[/mm]
> und
> [mm][W_c] = [id_{\IR^3}]^{E_3}_C * [w]_{E_3}[/mm]
>
> die stehen weiter unten im Lösungstext. Auf irgendeiner
> Formel müssen die doch basieren. Ich finde aber nichts dazu
> was mir erklärt wie ich auf die Formeln komm.
>
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> Zu erst haben wir sichergestellt, das die Vektoren [mm]b_1,b_2[/mm]
> linear unabhängig sind, das Gleiche für [mm]c_1,c_2,c_3[/mm]
> Schreibe ich jetzt nicht auf. Ich hoffe, ihr verzeiht mir
> das
Hallo,
Du hast Dich also sicherheitshalber davon überzeugt, daß B und C wirklich Basen des [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Ich werde jetzt zunächst, statt auf den Dir vorliegenden Lösungsvorschlag einzugehen, Dir meine Lösung der Aufgabe vorstellen.
Manchmal wird alles klarer, wenn man denselben Sachverhalt etwas anders präsentiert bekommt.
Gegeben ist Dir eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] durch die Angabe ihrer Funktionswerte auf der Standardbasis [mm] E_2 [/mm] des [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Bildvektoren sind gegeben in Koordinaten bzgl der Standardbasis [mm] E_3 [/mm] des [mm] \IR^3:
[/mm]
> [mm] \phi :\vektor{1\\0} \mapsto \vektor{0\\2\\3}; \vektor{0\\1} \mapsto \vektor{1\\-2\\0}
[/mm]
Die darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basen [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] lautet [mm] M_{E_3}^{E_2}(\phi]= \pmat{0 & 1 \\ 2& -2 \\ 3 & 0}.
[/mm]
Was tut diese Matrix? Man steckt einen Vektor v [mm] (\in \IR^2) [/mm] in Koordinaten bzgl. der Basis [mm] E_2 [/mm] hinein, und bekommt sein Bild [mm] \phi(v) [/mm] heraus in Koordinaten bzgl. [mm] E_3.
[/mm]
Gesucht ist in der Aufgabe nun die Matrix, welche die Abbildung [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen B und C darstellt.
Was soll diese Matrix leisten?
Wenn man einen Vektor v in Koordinaten bzgl. B hineinsteckt, soll sie [mm] \phi(v) [/mm] in Koordinaten bzgl. C liefern.
Laß uns diese Matrix nun ganz langsam "zu Fuß" erobern.
Wir brauchen die Bilder der Basisvektoren von B, also [mm] \phi\vektor{1\\1}und\phi\vektor{1\\-1}, [/mm] und zwar benötigen wir sie in Darstellung bzgl der Basis C.
Hierzu ist folgedes zu berechnen:
[mm] \phi(b_1)=\phi\vektor{1\\0}_B=\phi\vektor{1\\1}_{E_2}=\phi(\vektor{1\\0}_{E_2}+\vektor{0\\1}_{E_2})=\vektor{0\\2\\3}_{E_3}+ \vektor{1\\-2\\0}_{E_3}= \vektor{1\\0\\3}_{E_3}= \vektor{a\\b\\c}_{C}=ac_1+bc_2+cc_3=a*\vektor{2\\1\\-1}_{E_3}+b*\vektor{1\\0\\3}_{E_3}+c*\vektor{-1\\2\\1}_{E_3}.
[/mm]
Es ist also das lin. GS [mm] \vektor{1\\0\\3}=a*\vektor{2\\1\\-1}+b*\vektor{1\\0\\3}+c*\vektor{-1\\2\\1} [/mm] zu lösen.
Die Lösung [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] ist der erste Spaltenvektor der gesuchten Matrix [mm] M_{C}^B(\phi).
[/mm]
(Da ist in diesem Fall natürlich nicht viel zu rechnen... Man sieht sofort: [mm] \vektor{a\\b\\c}= \vektor{0\\1\\0})
[/mm]
Den zweiten Spaltenvektor erhält man, indem man völlig analog [mm] \phi(b_2) [/mm] in Koordinaten bzgl. C berechnet.
Ich denke, das bekommst Du hin.
Wenn Du das getan hast, hast Du die gesuchte Matrix [mm] M_{C}^B(\phi)=\pmat{0 & * \\ 1& * \\ 0 & *} [/mm] gefunden.
Ich weiß, daß ich mich wiederhole, trotzdem: Du steckst einen Vektor in Koordinaten bzgl B hinein und erhältst das Bild dieses Vektors in Koordinaten bzgl. C.
Wenn ich mit dieser Matrix [mm] M_{C}^B(\phi) [/mm] das Bild von [mm] \vektor{5\\3}_{E_2} [/mm] berechnen möchte, muß ich diesen Vektor erst umwandeln in Koordinaten bzgl. B - nur solche kann [mm] M_{C}^B(\phi) [/mm] "fressen":
[mm] \vektor{5\\3}_{E_2}=\vektor{4\\1}_{B} [/mm] und [mm] M_{C}^B(\phi)\vektor{4\\1}=\vektor{x\\y\\z}_C =(xc_1+yc_2+zc_3, [/mm] aber das ist ja nicht gefragt.)
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Nun kann man die Sache aber auch (auf den ersten Blick) etwas anders angehen, und damit nähern wir uns dem, was Du nicht verstanden hast.
Wir hatten oben ja recht schnell die darstellende Matrix [mm] M_{E_3}^{E_2}(\phi) [/mm] von [mm] \phi [/mm] bzgl. der beiden Standardbasen gefunden.
Diese können wir nur mit Vektoren, welche in Koordinaten bzgl. [mm] E_2 [/mm] gegeben sind, füttern.
Wenn wir einen Vektor v, der in Koordinaten bzgl. B gegeben ist, mithilfe dieser Matrix verarbeiten wollen, geht das nicht so ohne weiteres. Wir müssen ihn erst umwandeln in Koordinaten bzgl. [mm] E_2.
[/mm]
An dieser Stelle kommen die Transformationsmatrizen ins Spiel. Wir brauchen eine Matrix, welche uns die Basisvektoren von B in Koodinaten bzgl. [mm] E_2 [/mm] umwandelt. Verändern soll die Matrix den Vektor nicht, sie soll haargenau den hineingesteckten Vektor in der anderen Darstellung liefern.
Und hiermit sind wir bei dem, was Ihr als [mm] [id_{\IR^2}]^B_{E_2} [/mm] schreibt! Dies Matrix transformiert Dir Vektoren in der Darstellung bzgl. B in solche in Koordinaten bzgl. [mm] E_2. [/mm] Ohne den Vektor als solchen zu verändern.
Diese Matrix ist flink aufgestellt: in die Spalten kommen die Koordinaten der Basisvektoren v. B bzgl. [mm] E_2, [/mm] also ist [mm] [id_{\IR^2}]^B_{E_2}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.
[/mm]
Jetzt gucken wir uns an, was [mm] M_{E_3}^{E_2}(\phi)*[id_{\IR^2}]^B_{E_2} [/mm] tut.
Wir müssen das ja von rechts lesen.
Wir füttern das Konstrukt mit einem Vektor in Darstellung bzgl. B. Aus diesem Vektor macht uns zuerst [mm] [id_{\IR^2}]^B_{E_2} [/mm] denselben in Darstellung bzgl. [mm] E_2. [/mm] Anschließend liefert [mm] M_{E_3}^{E_2}(\phi) [/mm] das Bild dieses Vktors unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] in Darstellung bzgl. [mm] E_3.
[/mm]
Nun ist es klar, daß wir die Sache noch weitertreiben können, indem wir links noch [mm] [id_{\IR^3}]^{E_3}_{C} [/mm] vorschalten. Diese Matrix würde uns den Vektor, den wir in Darstellung bzgl. [mm] E_3 [/mm] in den Händen halten in denselben bzgl. C transformieren.
Bleibt noch die Frage, wie man [mm] [id_{\IR^3}]^{E_3}_{C} [/mm] bekommt. Es ist [mm] [id_{\IR^3}]^{E_3}_{C}=([id_{\IR^3}]^{C}_{E_3})^{-1}, [/mm] und
[mm] [id_{\IR^3}]^{C}_{E_3} [/mm] bekommt man, indem man die Basisvektoren von C in Koordinaten bzgl [mm] E_3 [/mm] in die Spalten steckt.
Was ich Dir jetzt erklärt habe, ist im Grunde nichts anderes, als das von oben aus dem ersten Abschnitt.
Ich hoffe, daß Dir nun - nach sehr langsamem Lesen und Mitdenken - die Sache etwas klarer wird.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo angela.h.b.
Ich danke dir für ausführliche Antwort
Fragen habe ich dazu jetz keine mehr
Grüße von
Wehm
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