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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 08.07.2006 | | Autor: | stefros |
| Aufgabe | F: V -> V
det F := det µMµ (F)
Wobei µ eine Basis von V ist. |
Jetzt wurde im Script bewiesen, daß es egal ist welche Basis µ man wählt und sich die Determinante dadurch nicht ändert.
Mit einem einfachen Beispiel lässt sich das allerdings schon widerlegen:
F(x1,x2):=(x1,x2)
Dann nimmt man einmal als Basis µ die beiden Vektoren (1,0) und (0,1)
ergibt sich für µMµ(F)= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
und als Determinante +1
Wenn man als Basis µ aber die Vektoren (0,1) und (1,0) nimmt, also vertauscht dann hat man
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
und als Determinante -1
Irgendwas stimmt doch da nich oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Sa 08.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich weiß nicht, ob ich dir hier helfen kann. Aber mich wundert es ein bisschen, dass da etwas anderes rauskommen soll, obwohl du ja eigentlich dieselbe Basis nimmst. Nur nimmst du die Basisvektoren in einer anderen Reihenfolge. Vielleicht gab es da im Skript noch irgendeine Kleinigkeit von wegen: bis auf Vorzeichen genau oder so etwas!?
Hast du denn auch ein Gegenbeispiel, wenn du wirklich zwei komplett unterschiedliche Basen nimmst?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Sa 08.07.2006 | | Autor: | stefros |
Nein da steht nichts über das Vorzeichen oder den Betrag, es gibt ja auch Aufgaben bei denen man die Determinante einer Funktion berechnen soll, also muss das ja eigentlich ein eindeutiges Ergebnis sein.
Aber ich denke Basisvektoren müssen ja auch nicht normiert sein, von daher könnte man auch (2,0) und (0,2) benutzen was wieder was anderes ergäbe (mit normieren Vektoren heisst das doch Orthonormalbasis oder?) also muss ich da ja rechnerisch irgendwas falsch machen wenn da nichts eindeutiges rauskommt.
Das wäre ja ein Gegenbeispiel mit komplett unterschiedlichen Basen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Sa 08.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
sorry, aber das Gegenbeispiel ist falsch.
Man muss hier genau darauf achten, was mit [mm] $\mu [/mm] M [mm] \mu [/mm] (F)$ gemeint ist,
ich denke es ist die  Darstellungsmatrix von F bzgl der Basis [mm] $\mu$ [/mm] gemeint
(also man steckt einen Vektor v in Dastellung bzgl [mm] $\mu$ [/mm] hinein und erhält dann einen Bildvektor, der aber auch bzgl [mm] $\mu$ [/mm] dargestellt ist)
bei deinem Beispiel : f(v)=v
wäre die Basis jetzt [mm] $\{ \vektor{0\\1},\vektor{1\\0} \}$, [/mm] dann ist das Bild von [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] ja wieder [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] , aber bzgl Basisdarstellung von [mm] $\mu$ [/mm] ist dies ja der erste Basisvektor, also ist das Bild bzgl [mm] $\mu$ [/mm] auch [mm] $\vektor{1\\0}$
[/mm]
Es wurde also einfach vergessen das Bild auch in Basisdarstellung bzgl [mm] $\mu$ [/mm] anzugeben.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:21 Sa 08.07.2006 | | Autor: | stefros |
Ohja, die Seite mit der Darstellungsmatrix schau ich mir auch seit 2 Stunden schon an *g*
Ist es einem Vektor im R² denn nicht egal bezüglich welcher Basis er dargestellt ist oder muss man den grundsätzlich nach (1,0) , (0,1) darstellen?
Oder ist das was ich nachdem ich diese Matrix auf einen Vektor losgelassen habe einfach als Ergebnis dann was womit ich die beiden Basisvektoren die ich da rein getan hab multiplizieren muss um den Vektor wieder zu kriegen?
Also wenn ich Basis (1,0 und (0,1) benutze und dann den Vektor (5,2) durch die Matrix schicke dann käme logischerweise wieder (5,2) raus also sozusagen 5*(1,0) + 2*(0,1), naja ich glaube bei so normalen Vektorräumen erkennt man da sowieso nicht was man eigentlich macht.
Mein eigentliches Problem ist ja noch wie man die richtige Determinante der Darstellungsmatrix einer Funktion ausrechnen kann weils da eben meiner Meinung nach unendlich verschiedene Determinanten geben kann je nachdem welche Basis man auswählt aber das kann ja nicht sein :(
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:25 So 09.07.2006 | | Autor: | stefros |
| Aufgabe | Ich weiss leider nicht wie man hier Basistransformationsmatrizen aufschreibt, daher sei:
aMb(F) := die Matrix die eine Basis a aus V zu einer Basis b aus W transformiert, wobei gilt F: V -> W
Satz 19.4.8: aMc ( F ° G) = bMc (F) * aMb (G) |
Ich hab jetzt noch was gefunden was ich nicht ganz verstehe aber ich denke das hängt mit dem ganzen Problem zusammen.
Jetzt mal ein Beispiel:
V=W= RxR = R²
und als Basis a := (1,0),(0,1)
G sei eine Verdopplungsfunktion, d.h. G(x1,x2) := (2x1,2x2)
F sei eine Vertauschungsfunktion, d.h. F(x1,x2) := (x2,x1)
Wenn ich jetzt von rechts anfange und die erste Basis a zu einer Basis b transformiere bekommt man für b = (2,0),(0,2)
Dann mache ich mit b die bMc(F) Matrix die ja einfach nur vertauscht und dann so aussieht:
bMc(F) = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
aMb(G) = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Auf der linken Seite der Gleichung kann man direkt aus der Basis a die Matrix bestimmen welche aber so aussieht:
[mm] aMc(F°G)=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Das ist aber NUR das Gleiche was beim Produkt der anderen beiden Matritzen rauskommt, wenn ich bei der Basis b sobald ich die aus a erzeugt habe noch eine Normierung auf Länge 1 mache, wovon aber nirgends was steht und eigentlich kann man mit diesen Matrizen ja direkt eine neue Basis im anderen Vektorraum erzeugen oder klappt das nur alles nich weil ich jedesmal den gleichen Vektorraum genommen hab?
Wenn ich als b wieder die Standardbasis nehme dann geht´s ja...
Edit: Also ich glaube in der Trafo-Matrix darf irgendwie von der Basis garnix drinstecken sondern nur von der Funktion, also müsste man die wohl noch am Ende durch die Länge der Basis teilen?
Oder man müsste als zu transformierende Basis beim erfinden der Matrix immer die Einheitsmatrix benutzen (mit den Spalten als Basisvektoren) aber es gibt ja auch kompliziertere Vektorräume die keine Einheitsmatrix als Basis haben :o
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 11.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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