Darf man so die Linear. zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Mi 28.11.2007 | | Autor: | PaulG |
| Aufgabe | | f: [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR^{2}, (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \rightarrow (x_{2}, 5x_{1})^{T} [/mm] |
Hallo! :)
Ich soll die obere Abbildung auf Linearität untersuchen.
Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob es so geht, wie ich das gemacht habe.
Also.
f(ax+y) = af(x) + f(y)
f(x) = [mm] (x_{2}, 5x_{1}) [/mm] ... af(x) = [mm] a(x_{2}, 5x_{1})
[/mm]
f(y) = [mm] (y_{2}, 5y_{1})
[/mm]
f(ax+y) = [mm] (ax_{2}+y_{2}, 5(ax_{1}+y_{1}))
[/mm]
dann habe ich f(ax+y) versucht umzuformen und so wie ich das denke, klappt es auch aber ich weiß nicht, ob man das darf.
1. [mm] f(ax_{2}+y_{2}, 5ax_{1} [/mm] + [mm] 5y_{1})
[/mm]
2. [mm] f(ax_{2}, 5ax_{1}) [/mm] + [mm] f(y_{2}, 5y_{1})
[/mm]
3. [mm] f(a(x_{2}, 5x_{1})) [/mm] + [mm] f(y_{2}, 5y_{1})
[/mm]
4. [mm] \underbrace{af(x_{2}, 5x_{1})}_{=af(x)} [/mm] + [mm] \underbrace{f(y_{2}, 5y_{1})}_{f(y)}
[/mm]
Ich habe das Gefühl, dass der zweite Schritt falsch ist und man es nicht machen darf.
Ich hoffe ich täusche mich und man darf es. :P
Dank schon mal für die Kontrolle und Tipps!
MfG
Paul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Das ist richtig so, allerdings mußt du die ganzen f's weg machen. Schließlich ist das, was da in den Klammern steht, bereits der Funktionswert.
Damit fällt die 4. Zeile auch weg.
(Allerdings: Ich würde dennoch zwei Schritte machen. ZUnächst f(x+y)=f(x)+f(y) und dann f(ax)=af(x) )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Mi 28.11.2007 | | Autor: | PaulG |
Vielen Dank für die Antwort!
Da bin ich aber sehr beruhigt, auch wenn ich das nicht wirklich nachvollziehen kann, wieso man das darf.
Ach und danke für den Tipp mit dem f!
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Hallo!
Das ist eigentlich nicht weiter schwierig.
ZUnächst zeigst du in den Zeilen 1-2, daß f(z+y)=f(z)+f(x) wobei z=ax
In der 3. Zeile zeigst du eben, daß du dieses a auchnoch ausklammern kannst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Mi 28.11.2007 | | Autor: | PaulG |
Ja, das ist mir alles verständlich, ich meinte eher den 2. Schritt, also die Aufsplittung von dem ganzen Ausdruck.
Ich habe das eher intuitiv gemacht aber wieso
f(a+b, c+d) = f(a,c) + f(b,d)
gilt, finde ich nirgendwo.
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