Dachprodukt, positive Definith < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 09.05.2006 | | Autor: | Maceo |
| Aufgabe 1 | Es Sei V ein Vektorraum über [mm] \IR,[/mm] [mm]k, l \in \IN[/mm] mit [mm]k + l = n.[/mm]
[mm] \omega \in \Lambda^{k} V [/mm]* , [mm] \eta \in \Lambda^{l} V[/mm]*
und [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n} \in [/mm] V derart, dass für alle [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] gilt:
[mm] \omega(v_{\sigma(1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(k)}) [/mm] ,
[mm] \eta(v_{\sigma(k+1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(n)}) \in \IZ
[/mm]
Gilt dann notwendigerweise
[mm] (\omega \wedge \eta) (v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n}) \in \IZ [/mm] ? |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm]A \in GL(n, \IR)[/mm]. Ist dann [mm]A^{T} A[/mm] positiv definit, d.h. gilt
[mm]\forall v \in \IR^{n} \setminus \{0\}: < A^{T} A v, v > > 0 [/mm]? |
Hallo Leute,
folgende Gedanken habe ich mir zu den beiden Aufgaben gemacht:
Zu Aufgabe 1:
Nach Definition des Dachproduktes gilt:
[mm] (\omega \wedge \eta) (v_{1}, [/mm] ... [mm] ,v_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k! l!} \summe_{\sigma \in S_{n}}^{}[/mm] [mm]sign\sigma[/mm] [mm] \omega(v_{\sigma(1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(k)}) \eta(v_{\sigma(k+1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(n)})
[/mm]
Die Elemente unter der Summe sind alle [mm] \in \IZ [/mm] :
[mm]sign\sigma = \pm 1 \in \IZ[/mm]
[mm] \omega(v_{\sigma(1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(k)}) [/mm] ,
[mm] \eta(v_{\sigma(k+1)}, [/mm] ... [mm] v_{\sigma(n)}) \in \IZ [/mm] (n.V.)
und somit die Summe auch wieder.
Aber:
[mm] \bruch{1}{k! l!} \in \IQ
[/mm]
Also ist das Produkt aus beidem [mm] \in \IQ,
[/mm]
es sei denn [mm](k! l!)[/mm] wäre ein Teiler von der Summe. Könnte das sein?
Oder ist [mm] (\omega \wedge \eta) (v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n}) \in \IZ [/mm] somit nicht notwendigerweise erfüllt und ich hiermit fertig?
Zu Aufgabe 2:
Das einzige was mir hierzu aus der Vorlesung einfällt ist, dass [mm] A^{T} [/mm] und A in der selben Teilmenge von GL(n, [mm] \IR) [/mm] liegen und damit gleichorientiert sind, d.h. [mm]det A det A^{T} > 0[/mm] ist.
Aber das bringt mich hier doch nicht weiter (oder doch?) und irgendwie finde ich hier nicht mal einen richtigen Ansatz. Kann man das Skalarprodukt noch irgendwie umformen, wenn darin eine Matrix steht?
Wäre echt nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
--
Viele Grüße,
Georg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Maceo |
Hi Leute,
hab's selber hinbekommen.
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