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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mi 13.12.2006 | | Autor: | nadine19 |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel{1 + \exp(x)} \* \ln(x [/mm] + [mm] \cos^2(\bruch{1}{x^2})) [/mm] |
Hallo!
Seit Tagen plage ich mich mit der Ableitung von diesem Monster rum... jetzt bin ich an einem Punkt wo nur noch Rat von außen helfen kann.
Ich habe das aufgespalten, in ein Produkt bestehend aus [mm] \wurzel{1 + \exp(x)}, [/mm] welches abgeleitet zu [mm] \bruch{\exp(x)}{2*\wurzel(1+\exp(x))} [/mm] wird.
Das heißt der erste Teil des Produkts wird zu:
[mm] \bruch{\exp(x) \* \ln(x + \cos^2(1/x^2))}{2 \*\wurzel(1+\exp(x))}
[/mm]
Soweit alles klar, dass sollte auch ziemlich sicher richtig sein.
Nun kommt der zweite Teil der abgeleitet werden soll:
[mm] \ln(x [/mm] + [mm] \cos^2(1/x^2)), [/mm] teile ich per Kettenregel in ein ln z auf: [mm] \bruch{1}{x + \cos^2(1/x^2)}
[/mm]
Nun zu x + [mm] \cos^2(1/x^2) [/mm] [Produktregel], x ist kein Problem (=1), aber [mm] \cos^2(1/x^2) [/mm] ist schon eher unangenehm. Erstens nehme ich mal an, dass [mm] \cos^2(1/x^2) [/mm] == [mm] \cos(1/x^2)^2 [/mm] == [mm] \cos(1/x^2) [/mm] * [mm] \cos(1/x^2) [/mm] äquvivalent sind.
Daher spalte ich [mm] \cos^2(1/x^2) [/mm] auch in ein Produkt [mm] \cos(1/x^2) \* \cos(1/x^2) [/mm] auf. Ergibt abgeleitet bei mir - [mm] \bruch{(4 \* \cos(1/x^2)\*\sin(1/x^2))}{x^3}. \cos(1/x^2) [/mm] alleine (Kettenregel + Quotientenregel) ergibt bei mir: - [mm] \bruch{(2 \*\sin(1/x^2))}{x^3}
[/mm]
Der gesamte [mm] \ln(x [/mm] + [mm] \cos^2(1/x^2)) [/mm] Teil wird so abgeleitet zu:
- [mm] \bruch{4*\cos(1/x^2)*\sin(1/x^2)}{x^3*(x+\cos(^2(1/x^2)))}
[/mm]
Letztendlich werden diese Teile nachdem Anfangs aufgespaltenen Produkt zusammengeführt, ergibt:
[mm] \bruch{ \exp(x) \* \ln(x + \cos^2(1/x^2))}{2 \* \wurzel(1+\exp(x))} [/mm] - [mm] \bruch{(4 \cos(1/x^2)*\sin(1/x^2)*\wurzel{1+e^x})}{x^3\*(x+\cos^2(1/x^2))}
[/mm]
Ich habe das jetzt versucht mit mehreren Computer Algebra Systemen zu überprüfen, netterweise kommt bei diesen auch immer was unterschiedliches raus... Ich würde jetzt gerne wissen, wo genau mein Fehler liegt - vielleicht hat ja jemand von euch Lust sich das mal genauer anzusehen...allerdings sollte ich besser vor großem Frust damit warnen.. :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 13.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\wurzel{1 + \exp(x)} \* \ln(x[/mm] + [mm]\cos^2(\bruch{1}{x^2}))[/mm]
> Hallo!
>
> Seit Tagen plage ich mich mit der Ableitung von diesem
> Monster rum... jetzt bin ich an einem Punkt wo nur noch Rat
> von außen helfen kann.
>
> Ich habe das aufgespalten, in ein Produkt bestehend aus
> [mm]\wurzel{1 + \exp(x)},[/mm] welches abgeleitet zu
> [mm]\bruch{\exp(x)}{2*\wurzel(1+\exp(x))}[/mm] wird.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Das heißt der erste Teil des Produkts wird zu:
> [mm]\bruch{\exp(x) \* \ln(x + \cos^2(1/x^2))}{2 \*\wurzel(1+\exp(x))}[/mm]
>
Auch korrekt
> Soweit alles klar, dass sollte auch ziemlich sicher richtig
> sein.
Ist es.
>
> Nun kommt der zweite Teil der abgeleitet werden soll:
>
> [mm]\ln(x[/mm] + [mm]\cos^2(1/x^2)),[/mm] teile ich per Kettenregel in ein ln
> z auf: [mm]\bruch{1}{x + \cos^2(1/x^2)}[/mm]
>
> Nun zu x + [mm]\cos^2(1/x^2)[/mm] [Produktregel], x ist kein Problem
> (=1), aber [mm]\cos^2(1/x^2)[/mm] ist schon eher unangenehm. Erstens
> nehme ich mal an, dass [mm]\cos^2(1/x^2)[/mm] == [mm]\cos(1/x^2)^2[/mm] ==
> [mm]\cos(1/x^2)[/mm] * [mm]\cos(1/x^2)[/mm] äquvivalent sind.
Bis jetzt okay.
>
> Daher spalte ich [mm]\cos^2(1/x^2)[/mm] auch in ein Produkt
> [mm]\cos(1/x^2) \* \cos(1/x^2)[/mm] auf. Ergibt abgeleitet bei mir
Soweit auch okay.
> - [mm]\bruch{(4 \* \cos(1/x^2)\*\sin(1/x^2))}{x^3}. \cos(1/x^2)[/mm]
> alleine (Kettenregel + Quotientenregel) ergibt bei mir: -
> [mm]\bruch{(2 \*\sin(1/x^2))}{x^3}[/mm]
>
> Der gesamte [mm]\ln(x[/mm] + [mm]\cos^2(1/x^2))[/mm] Teil wird so abgeleitet
> zu:
> -
> [mm]\bruch{4*\cos(1/x^2)*\sin(1/x^2)}{x^3*(x+\cos(^2(1/x^2)))}[/mm]
>
> Letztendlich werden diese Teile nachdem Anfangs
> aufgespaltenen Produkt zusammengeführt, ergibt:
> [mm]\bruch{ \exp(x) \* \ln(x + \cos^2(1/x^2))}{2 \* \wurzel(1+\exp(x))}[/mm]
> - [mm]\bruch{(4 \cos(1/x^2)*\sin(1/x^2)*\wurzel{1+e^x})}{x^3\*(x+\cos^2(1/x^2))}[/mm]
Sieht sehr gut aus. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
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> Ich habe das jetzt versucht mit mehreren Computer Algebra
> Systemen zu überprüfen, netterweise kommt bei diesen auch
> immer was unterschiedliches raus... Ich würde jetzt gerne
> wissen, wo genau mein Fehler liegt - vielleicht hat ja
> jemand von euch Lust sich das mal genauer
> anzusehen...allerdings sollte ich besser vor großem Frust
> damit warnen.. :-(
Wieso, war doch im Grunde gar nicht so schwer.
Marius
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