DGl 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mo 17.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | | [mm] y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}} [/mm] |
[mm] y=\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}}=\integral_{}^{}{2xy*(x^{2}-y^{2})^{-1}dx}=2*\integral_{}^{}{u'*v^{-1}}dx
[/mm]
mit u'=xy
[mm] v=(x^{2}-y^{2})^{-1}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Und nun? Wie integriere ich das denn?
Ich vermute, Ketten- und Produktregel. Weiß aber irgendwie nicht, wie??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}[/mm]
> [mm]y=\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}}=\integral_{}^{}{2xy*(x^{2}-y^{2})^{-1}dx}=2*\integral_{}^{}{u'*v^{-1}}dx[/mm]
>
> mit u'=xy
> [mm]v=(x^{2}-y^{2})^{-1}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nein. Ich weiß nicht, was Du da getrieben hast.
So bekommst Du die Lösung der DGL $ [mm] y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}} [/mm] $ jedenfalls nicht.
FRED
> Und nun? Wie integriere ich das
> denn?
> Ich vermute, Ketten- und Produktregel. Weiß aber
> irgendwie nicht, wie??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mo 17.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
Ist denn grundsätlich richtig, das Integral von y' zu bilden?
Oder muss ich erst noch das y aus dem Integral bekommen?
Oder wie muss ich vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist denn grundsätlich richtig, das Integral von y' zu
> bilden?
> Oder muss ich erst noch das y aus dem Integral bekommen?
>
> Oder wie muss ich vorgehen?
Ich habe den Eindruck, dass Du über gewöhnliche Differentialgleichungen nicht viel weißt.
Welche Typen von DGLen habt Ihr bisher behandelt ? Welche Lösungsmethoden ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mo 17.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
Wir haben eigentlich alle so ein bisschen gehabt...
Ich erkenne aber nicht genau, um was es sich handelt.
Meiner Meinung nach ist das eine lineare DGl 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
-> Also Lösung durch Ansatz oder Variation der Konstanten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben eigentlich alle so ein bisschen gehabt...
Muß man Dir alles aus der Nase ziehen ? Alle Typen habt Ihr sicher nicht gehabt. Also welche ?
>
> Ich erkenne aber nicht genau, um was es sich handelt.
>
> Meiner Meinung nach ist das eine lineare DGl 1.Ordnung mit
> konstanten Koeffizienten.
Das ist Unsinn !
Hattet Ihr exakte DGLen ? Wenn ja, so schreibe Deine DGL in der Form
(*) Pdx+Qdy=0.
(*) ist zwar nicht exakt, aber es gibt einen Multiplikator , der nur von y abhängt.
FRED
>
> -> Also Lösung durch Ansatz oder Variation der
> Konstanten.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 17.09.2012 | | Autor: | hennes82 |
Danke nochmal für den Tipp. Habe mir exakte DGln mal angeschaut.
Also folgt für diese Aufgabe:
[mm] y'(x^{2}-y^{2})-2xy=0
[/mm]
mit [mm] g(x;y)=(x^{2}-y^{2}) [/mm] und h(x;y)=-2xy
[mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}=-2
[/mm]
Integration:
[mm] \integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{[-2xy-\integral_{}^{}{}\bruch{\partial g}{\partial y}dx]dy}=C=const
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{2x-2xy dy}=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}=C
[/mm]
Lösung: [mm] C=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}
[/mm]
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Hallo hennes,
> Danke nochmal für den Tipp. Habe mir exakte DGln mal
> angeschaut.
>
> Also folgt für diese Aufgabe:
>
> [mm]y'(x^{2}-y^{2})-2xy=0[/mm]
[mm] -2xy+(x^2-y^2)y'=0
[/mm]
>
> mit [mm]g(x;y)=(x^{2}-y^{2})[/mm] und h(x;y)=-2xy
Es muss gelten: [mm] h_y=g_x
[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] -2x\not=2x
[/mm]
Deswegen schrieb auch Fred, dass du einen eulerschen Multiplikator bestimmen sollst.
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}=-2[/mm]
>
> Integration:
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{[-2xy-\integral_{}^{}{}\bruch{\partial g}{\partial y}dx]dy}=C=const[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{2x-2xy dy}=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}=C[/mm]
>
> Lösung: [mm]C=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}[/mm]
Das dies nicht stimmt, erkennt man, wenn du dieses [mm] F(x)=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2} [/mm] nach x und y ableitest.
Wäre F die Lösung dann müsste gelten:
[mm] F_x(x,y)=h(x,y) [/mm] und [mm] F_y(x,y)=g(x,y)
[/mm]
Das ist aber nicht so.
Weiteres Vorgehen für dich:
Bestimme den Eulerschen Multiplikator, damit die DGL exakt wird. Fred schrieb, dass dieser nur von y abhängt, also die Form M(y) hat.
Schreibe also:
[mm] -2xy*M(y)+(x^2-y^2)*M(y)*y'=0
[/mm]
Prüfe nun die Bedigung [mm] h_y=g_x. [/mm] Daraus kannst du dann M(y) ermitteln.
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