DGL selber aufstellen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 20.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Ein Tank enthalte 1000 Liter Wasser, in dem 50 kg eines Salzes gelöst seien. Pro Minute mögen 2 Liter der Salzlösung aus dem Tank auslaufen und 2 Liter reines Wasser zulaufen, die durch ein Superrührgerät sofort und vollständig mit der Salzlösung vermischt werden. Wieviel Kilogramm Salz sind t Minuten nach Beginn des Auslaufens noch im Tank vorhanden? |
Hallo zusammen,
seit diesem Semester (also bisher 2 Vorlesungen lang) höre ich "Gewöhnliche Differentialgleichungen"!
Bisher habe ich echt keine Ahnung was abgeht und könnte jetzt etwas Hilfe gebrauchen. Diese Aufgabe scheint mir eigentlich auch ohne Riesenkenntnisse lösbar, nur bekomm ich irgendwie nicht viel hin.
Also:
Mein Ansatz wäre:
sei [mm] x_{t} [/mm] die übrig gebliebene Salzmenge nach t Minuten
dann gilt:
[mm] x_{1} [/mm] = 50 - [mm] \bruch{50}{1000} [/mm] * 2 = 50 - [mm] \bruch{50}{500} [/mm] = 50 - [mm] \bruch{5}{50}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{ x_{1}}{1000} [/mm] * 2 = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{x_{1}}{500}
[/mm]
.
.
.
[mm] x_{t} [/mm] = [mm] x_{t-1} [/mm] - [mm] \bruch{ x_{t-1}}{500}
[/mm]
So das wars dann auch schon. Ich hab echt keine Ahnung, wie ich weitermachen soll *schäm*.
Gibt es irgendwelche grundsätzlichen Tricks oder muss man eine Regelmäßigkeit o.ä. in der Abnahme der Salzmenge einfach "sehen"?
Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schon mal.
Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Sa 21.10.2006 | | Autor: | SusiSommer |
Hallo Patrick,
grüble gerade über die selbe Aufgabe. Habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
S(t) ist der Salzgehalt zur Zeit t
S(0) = 50 (Anfangswert)
und die DGL könnte so aussehen:
[mm] \bruch{dS(t)}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{S(t)}{1000}*2 [/mm] (kann man natürlich noch kürzen, aber vielleicht sieht man so eher was ich mir dabei gedacht habe)
Ob diese DGL richtig ist und wie man sie löst weiß ich allerdings nicht, aber vielleicht hast du ja ne Idee dazu.
Gruß Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Sa 21.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo Susi,
darüber habe ich auch schon nachgedacht, aber ich denke, dass das noch nicht ausgeklügelt genug ist. Allein schon, weil man noch irgendwie einbringen muss, dass die Differenz aus dem Ausgangs-Wasser-Salz-Verhältnis von welchem deine DGL subtrahiert werden muss immer wieder das neue Ausgangs-Wasser-Salz-Verhältnis ist.
Ich hoffe man versteht einigermaßen was ich meine. Bin weiterhin für jede Hilfe dankbar.
Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi oeli1985,
ich glaube das ist alles richtig.
Ihr habt ja eigentlich schon gezeigt das gilt:
[mm] x(t+\Delta t)=x(t)-\bruch{x(t)}{500}\Delta{t} [/mm] mit x(t) ist der Salzgehalt zum Zeitpunkt t.
Durch Umstellen, Division durch [mm] \Delta{t} [/mm] und Grezwertbildung [mm] \limes_{\Delta{t}\rightarrow{0}} [/mm] folgt
[mm] \bruch{d}{dt}x(t)=-\bruch{x(t)}{500}\Delta{t} [/mm] mit Anfangswert x(0)=50.
Die Lösung der DGL lautet [mm] x(t)=x(0)e^{-\alpha*t} [/mm] mit [mm] \alpha=-\bruch{1}{500}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 22.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
ich habe mich mit einem Kommilitonen über die Aufgabe unterhalten und wir sind darüber überein gekommen, dass diese Aufgabe doch eigentlich viel simpler zu lösen sein müsste.
Unsere Argumentation
Der Wassertank enthält ja konstant 1000 Liter Salzlösung. Es verändert sich nur das Salz-Wasser-Verhältnis. Zu Beginn sind 50 kg Salz enthalten und innerhalb der 1.Minute strömen 2 Liter Wasser mit einer entsprechenden Salzmenge hinaus.
D.h.:
[mm] \bruch{2}{1000} [/mm] des Salzes strömen mit hinaus, woraus folgt, dass noch [mm] \bruch{998}{1000} [/mm] der ursprünglichen Salzmenge vorhanden sein müssen.
Somit:
sei [mm] x_{t} [/mm] der noch verbliebene Salzmenge nach t Minuten
[mm] x_{0} [/mm] = 50 nach Voraussetzung
[mm] x_{1} [/mm] = 50 [mm] \* \bruch{998}{1000}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} \* \bruch{998}{1000} [/mm] = 50 [mm] \* \bruch{998}{1000} \* \bruch{998}{1000} [/mm] = 50 [mm] \* \bruch{998}{1000}^{2}
[/mm]
.
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[mm] x_{t} [/mm] = 50 [mm] \* \bruch{998}{1000}^{t}
[/mm]
Denken wir da zu einfach oder stimmt das sogar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 18.10.2009 | | Autor: | Anne03 |
Hallo,
die Einträge sind zwar schon ein bisschen her, aber ich habe jetzt dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und habe eine Frage.
Ich habe bei der Lösung mit DGL noch nicht verstanden, wie ich von der Gleichung x(t [mm] +\Delta [/mm] t) = ...
auf die DGL komme und wie ich dann von der DGL auf die Lösung der DGL komme? Kann mir jemand weiterhelfen?
Schonmal vielen Dank und viele Grüße
Anne
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Hallo Anna03,
> Hallo,
> die Einträge sind zwar schon ein bisschen her, aber ich
> habe jetzt dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und habe eine
> Frage.
>
> Ich habe bei der Lösung mit DGL noch nicht verstanden, wie
> ich von der Gleichung x(t [mm]+\Delta[/mm] t) = ...
> auf die DGL komme und wie ich dann von der DGL auf die
> Lösung der DGL komme? Kann mir jemand weiterhelfen?
Das hat doch ullim hier schon erläutert.
>
> Schonmal vielen Dank und viele Grüße
> Anne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo oeli et al.
Eure letzte Lösungsidee ist völlig richtig!
Einziger Nachteil, ihr sollt ja das Aufstellen und Lösen der Dgl. üben und da ist der 2. Lösungsweg, bzw, der den llim geschrieben hat besser.
Ihr solltet üben die momentane Änderung pro Zeit also f' rauszukriegen. Siehe auch deine andere Aufgabe
Gruss leduart
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