DGL quadratisch < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Es gilt die DGL [mm] m\ddot{x}=mg-c\dot{x}^{2} [/mm] für den Fall im Schwerefeld mit einer Reibungskraft, die quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt zu lösen. Anfangsbedingungen: [mm] x(0)=\dot{x}(0)=0. [/mm] Wie groß ist die Grenzgeschwindigkeit?
Hinweis: Transformiere [mm] v'=v\sqrt{c/(mg)},t'=t\sqrt{gc/m}. [/mm] |
Hallo,
diese quadratische Geschwindigkeit wirft mich etwas aus der Bahn. Ich weiß nicht recht, wie ich vorgehen soll.
Wenn ich mal diese Transformation da mache, und dann für [mm] \dot{x}'=v' [/mm] einsetze, dann bringt mich das nicht wirklich weiter. Wozu brauche ich diese Zeittransformation dort? Was ist der erste Schritt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 02.11.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> Wenn ich mal diese Transformation da mache, und dann für
> [mm]\dot{x}'=v'[/mm] einsetze, dann bringt mich das nicht wirklich
> weiter. Wozu brauche ich diese Zeittransformation dort? Was
> ist der erste Schritt?
Hey !
• [mm]\dot{x}' \not= v'[/mm]
• 1.Schritt: bilde das Differential dt' !
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 02.11.2010 | | Autor: | Unk |
> > ...
> > Wenn ich mal diese Transformation da mache, und dann
> für
> > [mm]\dot{x}'=v'[/mm] einsetze, dann bringt mich das nicht wirklich
> > weiter. Wozu brauche ich diese Zeittransformation dort? Was
> > ist der erste Schritt?
> Hey !
> • [mm]\dot{x}' \not= v'[/mm]
>
> • 1.Schritt: bilde das Differential dt' !
>
> Ciao Calli
Meinst du das dann praktisch so:
[mm] \int_{\dot{x}(0)}^{\dot{x}}d\ddot{s}=\int_{0}^{t}(mg-c\dot{x}^{2})dt' [/mm] ? Dann kann ich aber mit der rechten Seite nicht wirklich was anfangen, wegen des [mm] \dot{x}^{2}. [/mm] Das kann ich nicht so recht nach t integrieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Calli |
> Meinst du das dann praktisch so:
>
> [mm]\int_{\dot{x}(0)}^{\dot{x}}d\ddot{s}=\int_{0}^{t}(mg-c\dot{x}^{2})dt'[/mm]
> ? Dann kann ich aber mit der rechten Seite nicht wirklich
> was anfangen, wegen des [mm]\dot{x}^{2}.[/mm] Das kann ich nicht so
> recht nach t integrieren.
Nein, das meine ich nicht !
Bei konsequenter Ausführung der angegebenen Transformationen komme ich folgende DGL:
$x'' + x'^2 [mm] =1\qquad( [/mm] ' := Ableitungen \ nach \ t')$
Substitution: $x'^2=p$ und ableiten nach t' !
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Do 04.11.2010 | | Autor: | Unk |
Hi,
wieso heißt das in der transformierten gleichung bei dir wieder x? Wenn ich die Transformation ausführe, dann sähe das bei mir so aus:
[mm] v'\cdot\sqrt{mg/c}=v=\dot{x}\Rightarrow\dot{x}^{2}=v'^{2}\frac{mg}{c}. [/mm] Weiter: [mm] \ddot{x}=\frac{d}{dt}(v'(t\sqrt{gc/m})\cdot\sqrt{mg/c}=\dot{v}'g.
[/mm]
Setzt man das dann wieder in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man:
[mm] \dot{v}'+v'^{2}=1. [/mm] Im Prinzip das, was du auch hast, aber dann ist doch nicht [mm] \dot{v}'=\ddot{x} [/mm] wie bei dir, oder (ist ja jeweils die Ableitung nach t und nicht nach t'?
Ich glaube, dass mit der Transformation hier habe ich noch nicht ganz verstanden. Ist meine Rechnung da falsch?
Aber ich könnte (vorausgesetzt meine Transformation ist richtig) dann doch auch von der Gleichung [mm] \dot{v}'+v'^{2}=1 [/mm] v' ausrechnen.
[mm] p:=v'^{2}\Rightarrow\dot{p}=2v'\dot{v}'. [/mm] Leider weiß ich dann aber ab hier auch schon nicht mehr weiter. (?)
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Hallo Unk,
> Hi,
>
> wieso heißt das in der transformierten gleichung bei dir
> wieder x? Wenn ich die Transformation ausführe, dann sähe
> das bei mir so aus:
>
> [mm]v'\cdot\sqrt{mg/c}=v=\dot{x}\Rightarrow\dot{x}^{2}=v'^{2}\frac{mg}{c}.[/mm]
> Weiter:
> [mm]\ddot{x}=\frac{d}{dt}(v'(t\sqrt{gc/m})\cdot\sqrt{mg/c}=\dot{v}'g.[/mm]
>
> Setzt man das dann wieder in die ursprüngliche Gleichung
> ein, erhält man:
>
> [mm]\dot{v}'+v'^{2}=1.[/mm] Im Prinzip das, was du auch hast, aber
> dann ist doch nicht [mm]\dot{v}'=\ddot{x}[/mm] wie bei dir, oder
> (ist ja jeweils die Ableitung nach t und nicht nach t'?
Mein Vorredner hat die Gleichung so gemeint:
[mm]\left(x'\right)'+\left(x'\right)^{2}=1[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{dx'}{dt'}+\left(x'\right)^{2}=1[/mm]
Danach ist Deine Rechung richtig.
>
> Ich glaube, dass mit der Transformation hier habe ich noch
> nicht ganz verstanden. Ist meine Rechnung da falsch?
>
> Aber ich könnte (vorausgesetzt meine Transformation ist
> richtig) dann doch auch von der Gleichung [mm]\dot{v}'+v'^{2}=1[/mm]
> v' ausrechnen.
>
> [mm]p:=v'^{2}\Rightarrow\dot{p}=2v'\dot{v}'.[/mm] Leider weiß ich
> dann aber ab hier auch schon nicht mehr weiter. (?)
Zunächst formst Du die Gleichung nach [mm]\dot{v}'[/mm] um.
[mm]\dot{v}'=\bruch{1}{2v}*\dot{p}[/mm]
Dieses v auf der rechten Seite ersetzt Du gemäß
[mm]p=v'^{2}[/mm]
Dann setzt Du das alles in die DGL
[mm]\dot{v}'+v'^{2}=1[/mm]
ein.
Diese DGL kannst Du auch ganz ohne Transformation lösen:
Aus [mm]\dot{v}'+v'^{2}=1[/mm] folgt zunächst:
[mm]\dot{v}'=1-v'^{2}[/mm]
Damit [mm]\bruch{dv'}{1-v'^{2}}=dt'[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 04.11.2010 | | Autor: | Unk |
Ok danke schonmal. Ich komme nur immer etwas durcheinander mit dem t und dem t'. Bei mir wäre die erhaltene Gleichung
[mm] \frac{v'}{dt}+v'^{2}=1.
[/mm]
So wie du es dann weiter gerechnet hast, wäre die Ableitung aber nach dt', was ja nicht dasselbe ist.
Hast du dich vertan oder ich mich?
Ich komme mit meiner Rechnung aber immer wieder auf die Ableitung nach t und nicht nach t', was daran liegt, dass ich die Transformation so ausgeführt habe: [mm] v'(t')\cdot\sqrt{mg/c}=v(t)=\frac{dx}{dt}. [/mm] Und jetzt setze ich für [mm] t'=t\cdot\sqrt{gc/m} [/mm] ein und leite wieder nach t ab.
In meiner Aufgabe steht ja, dass man die Transformation [mm] v'=v\cdot\sqrt{c/mg} [/mm] machen soll. Ist es eigentlich richtig, dass mit Einsetzen der Argumente dann [mm] v'(t')=v(t)\cdot\sqrt{c/mg} [/mm] gilt? Oder muss links auch v'(t) stehen? Wenn dem so wäre, könnte ich meine Transformation nicht so durchführen.
Wenn ich alles so lasse wie ich es bisher hatte, komme ich auf [mm] v=tanh(t)\sqrt{mg/c}. [/mm] Daraus müsste man dann noch durch Integration x ausrechnen. Ist das denn korrekt?
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Hallo Unk,
> Ok danke schonmal. Ich komme nur immer etwas durcheinander
> mit dem t und dem t'. Bei mir wäre die erhaltene Gleichung
>
> [mm]\frac{v'}{dt}+v'^{2}=1.[/mm]
>
> So wie du es dann weiter gerechnet hast, wäre die
> Ableitung aber nach dt', was ja nicht dasselbe ist.
>
> Hast du dich vertan oder ich mich?
Ich habe mich nicht vertan.
Hier wird eine verkette Funktion verwendet:
[mm]v\left(t\right)=v\left(\ v'\left(\ t'\left(t\right) \ \right) \ \right)[/mm]
Wird dies nach t differnziert, so ergibt sich:
[mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{dv}{dv'}\bruch{dv'}{dt'}*\bruch{dt'}{dt}[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]\bruch{dv}{dt}=\left(\bruch{dv}{dv'}*\bruch{dt'}{dt}\right)*\bruch{dv'}{dt'}[/mm]
>
> Ich komme mit meiner Rechnung aber immer wieder auf die
> Ableitung nach t und nicht nach t', was daran liegt, dass
> ich die Transformation so ausgeführt habe:
> [mm]v'(t')\cdot\sqrt{mg/c}=v(t)=\frac{dx}{dt}.[/mm] Und jetzt setze
> ich für [mm]t'=t\cdot\sqrt{gc/m}[/mm] ein und leite wieder nach t
> ab.
>
> In meiner Aufgabe steht ja, dass man die Transformation
> [mm]v'=v\cdot\sqrt{c/mg}[/mm] machen soll. Ist es eigentlich
> richtig, dass mit Einsetzen der Argumente dann
> [mm]v'(t')=v(t)\cdot\sqrt{c/mg}[/mm] gilt? Oder muss links auch
> v'(t) stehen? Wenn dem so wäre, könnte ich meine
> Transformation nicht so durchführen.
>
> Wenn ich alles so lasse wie ich es bisher hatte, komme ich
> auf [mm]v=tanh(t)\sqrt{mg/c}.[/mm] Daraus müsste man dann noch
> durch Integration x ausrechnen. Ist das denn korrekt?
Die Lösung der DGL
[mm]\frac{dv'}{dt'}+v'^{2}=1.[/mm]
lautet, unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung:
[mm]v'\left(t'\right)=\tanh\left(t'\right)[/mm]
Rücktransformation ergibt die Lösung [mm]v\left(t\right)[/mm]
Durch Integration erhältst Du dann [mm]x\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 04.11.2010 | | Autor: | Unk |
Ok das einzige, was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wie man das mit dieser verketteten Funktion sieht, also v(t)=v(v'(t'(t))).
Also wie kann ich nachrechnen, dass diese Verkettung mit meinen gegebenen Transformation gilt. Ich kann ja irgendwie nicht v' in v einsetzen. Also angenommen ich weiß, dass [mm] v'=v\cdot\sqrt{mg/c} [/mm] und [mm] t'=t\sqrt{gc/m} [/mm] gilt. Wie sehe ich dann, dass v(t)=v(v'(t'(t))) gilt? Kann man das Nachrechnen und wenn ja wie? Einfach ineinander einsetzen geht nicht so recht.
Wenn ich weiß, wie man auf diese Verkettung kommt, dann ist mir auch klar wie das weitere geht.
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Hallo Unk,
> Ok das einzige, was ich noch nicht so ganz verstehe ist,
> wie man das mit dieser verketteten Funktion sieht, also
> v(t)=v(v'(t'(t))).
> Also wie kann ich nachrechnen, dass diese Verkettung mit
> meinen gegebenen Transformation gilt. Ich kann ja irgendwie
> nicht v' in v einsetzen. Also angenommen ich weiß, dass
> [mm]v'=v\cdot\sqrt{mg/c}[/mm] und [mm]t'=t\sqrt{gc/m}[/mm] gilt. Wie sehe ich
> dann, dass v(t)=v(v'(t'(t))) gilt? Kann man das Nachrechnen
> und wenn ja wie? Einfach ineinander einsetzen geht nicht so
> recht.
> Wenn ich weiß, wie man auf diese Verkettung kommt, dann
> ist mir auch klar wie das weitere geht.
Nun, die Funktion v ist von t abhängig,
Durch die Transformation ist aber auch
t' von t abhängig, so daß
[mm]v\left(t\right)=\left(v \circ f \circ t'\right)\left(t\right)[/mm]
mit einer noch zu bestimmenden Funktion f.
Nach den gegebenen Transformationen ist aber v auch von v' abhängig.
Daher gilt:
[mm]v\left(t\right)=\left(v \circ v' \circ t'\right)\left(t\right)=v\left( \ v' \left(\ t'\left(t\right) \ \right) \right) \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 04.11.2010 | | Autor: | Calli |
> Also wie kann ich nachrechnen, dass diese Verkettung mit
> meinen gegebenen Transformation gilt. Ich kann ja irgendwie
> nicht v' in v einsetzen. Also angenommen ich weiß, dass
> [mm]v'=v\cdot\sqrt{mg/c}[/mm] und [mm]t'=t\sqrt{gc/m}[/mm] gilt. Wie sehe ich
> dann, dass v(t)=v(v'(t'(t))) gilt? Kann man das Nachrechnen
> und wenn ja wie?
Wenn [mm] $v'=v\cdot\sqrt{mg/c}$ [/mm] dann $v'=f(v)$ und Umkehrfunktion [mm] $v=f^{-1}(v')$
[/mm]
v' ist abhängig von t' und t' ist abhängig von t .
Einsetzen ergibt:
[mm] $v=f^{-1}(v'\,[\,t'\ [/mm] (t)])$
Ciao Calli
PS:
Bei [mm] $x''+(x')^2=1 [/mm] $ bzw. $v'(t')+ [mm] v^2(t') [/mm] =1$ ist eine Substitution [mm] $(x')^2=p$
[/mm]
natürlich überflüssig.
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 04.11.2010 | | Autor: | Unk |
Na gut, also kommt man ja wirklich zu v'=tanh(t'). Kann man denn dan für die Rücktransformation einfach wieder für [mm] t'=t\sqrt{gc/m} [/mm] einsetzen und genauso [mm] v'=v\sqrt{c/mg}? [/mm] Oder muss man das anders machen?
Also ich hab das mal einfach so gemacht und dann bin ich am Ende zu [mm] x=\frac{m}{c}\ln(\cosh(t\cdot\sqrt{gc/m})) [/mm] gekommen, was ich komisch finde. Physikalisch gesehen müsste der Weg in Metern angegeben werden und das kommt hier nicht hin. Langsam verzweifele ich an dieser Aufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Calli |
> Na gut, also kommt man ja wirklich zu v'=tanh(t'). Kann man
> denn dan für die Rücktransformation einfach wieder für
> [mm]t'=t\sqrt{gc/m}[/mm] einsetzen und genauso [mm]v'=v\sqrt{c/mg}?[/mm] Oder
> muss man das anders machen?
Was willst Du hier denn anders machen ???
Die Funktionen für $v'=f[t'(t)] [mm] \qquad [/mm] und [mm] \qquad [/mm] t'=g(t)$ sind doch gemäß Aufgabenstellung so definiert.
> Also ich hab das mal einfach so gemacht und dann bin ich am
> Ende zu [mm]x=\frac{m}{c}\ln(\cosh(t\cdot\sqrt{gc/m}))[/mm]
> gekommen, was ich komisch finde. Physikalisch gesehen
> müsste der Weg in Metern angegeben werden und das kommt
> hier nicht hin. Langsam verzweifele ich an dieser Aufgabe.
Dazu macht man eine Dimensionsbetrachtung. Welche Dimension hat denn c ???
Ciao Calli
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