DGL mittels Potenzreihe lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 29.09.2008 | | Autor: | eemeli |
| Aufgabe | Für die Theorie von Molekül-Bindungen ist die Differentialgleichung:
y"(x)-xy (x)=0
von Bedeutung.
(a) Warum kann man mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes:
y(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^n
[/mm]
eine Lösung der Gleichung oben finden? Für welche x [mm] \varepsilon\IR [/mm] ist dann y(x) definiert?
(b) Bestimmen Sie eine rekursive folge für die Koeffizienten [mm] a_n. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In Aufgabenteil a weiß ich nicht, ob ich zum Beweis etwas rechnen muss oder ob es da einfach eine triviale Antwort gibt, warum man die Gleichung mit Hilfe des Potenzreihenansatzes lösen kann.
In Aufgabenteil b fehlt mir das theoretische Wissen über die Bildung rekursiver Folgen.
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! Danke! :)
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Hallo!
Zur a) kann ich dir recht wenig sagen.
Zur b)
Man lernt das am besten, wenn man es mal ohne Summenzeichen probiert:
Ansatz: [mm] y(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...
[/mm]
Dann die Ableitung:
[mm] y'(x)=a_1x^0+2a_2x^1+3a_3x^2+4a_4x^3...
[/mm]
[mm] y''(x)=2a_2x^0+6a_3x^1+12a_4x^2+20*a_5x^3...
[/mm]
Und dann brauchen wir noch:
[mm] x*y(x)=0*x^0+a_0x^1+a_1x^2+a_2x^3+a_3x^4+...
[/mm]
Nun soll y''(x)=xy(x) sein, und das ist bei Polynomen genau dann der Fall, wenn die Koeffizienten der einzelnen Potenzen gleich sind:
[mm] $0*x^0+\red{a_0x^1}+\green{a_1x^2}+\blue{a_2x^3}+... [/mm] = [mm] {2a_2x^0}+\red{6a_3x^1}+\green{12a_4x^2}+\blue{20*a_5x^3}+...$
[/mm]
Und jetzt siehst du, daß
[mm] a_2=\frac{0}{2}
[/mm]
[mm] \red{a_3=\frac{1}{6}a_0}
[/mm]
[mm] \green{a_4=\frac{1}{12}a_1}
[/mm]
[mm] \blue{a_5=\frac{1}{20}a_2}
[/mm]
Jetzt scharf hinsehen:
[mm] a_0 [/mm] ist nur 1x zu sehen, das ist ein freier Parameter.
[mm] a_1 [/mm] gibt es ebenfalls nur einmal, es ist ebenfalls ein freier Parameter
[mm] a_2 [/mm] steht nur im schwarzen Term, und ist gleich 0.
[mm] a_3 [/mm] berechnet sich aus [mm] a_0
[/mm]
[mm] a_4 [/mm] berechnet sich aus [mm] a_1
[/mm]
[mm] a_5 [/mm] berechnet sich aus [mm] a_2, [/mm] und ist damit =0
Folgerung: Es gibt 2 freie Parameter, wie es für eine 1dim. DGL 2. Ordnung sein sollte.
Und es gibt rekursive Vorschriften, wie du die höheren Koeffizienten aus den kleineren berechnen kannst.
Wenn du das verstanden hast, versuche es mal mit einem Polynom in Summenschreibweise.
Aus einem [mm] a_ix^i [/mm] wird beim Ableiten [mm] i*a_ix^{i-1} [/mm] etc...
Wichtig ist dann, daß du die Indizes der Summen so verschiebst, daß überall nur noch [mm] x^i [/mm] steht, und daß diese +1 -1... Rechnungen eher an den a's hängen. DAnn kannst du die Koeffizienten direkt vergleichen, und bekommst darüber hinaus direkt die rekursiven Zusammenhänge.
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