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Hey
Ich will die DGL: [mm] \bruch{x}{ln(x)}*f'(x)=1+\bruch{f(x)}{ln²(x)} [/mm] lösen.
Hier drin ist die Quotientenregel versteckt.
Wenn ich die Gleichung umforme so komm ich auf:
[mm] \bruch{ln(x)*x*f'(x)-f(x)}{ln²(x)}=1
[/mm]
Hier erkenn ich aber nur fast die quotientenregel.
Wie form ich das richtig um.
Gruss
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Hallo defjam,
> Hey
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> Ich will die DGL:
> [mm]\bruch{x}{ln(x)}*f'(x)=1+\bruch{f(x)}{ln²(x)}[/mm] lösen.
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> Hier drin ist die Quotientenregel versteckt.
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> Wenn ich die Gleichung umforme so komm ich auf:
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> [mm]\bruch{ln(x)*x*f'(x)-f(x)}{ln²(x)}=1[/mm]
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> Hier erkenn ich aber nur fast die quotientenregel.
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> Wie form ich das richtig um.
So weit, so gut.
Nun einfach durch x dividieren und dann integrieren:
[mm]\bruch{ln(x)*f'(x)-f(x)*\bruch{1}{x}}{ln²(x)}=\bruch{1}{x}[/mm]
[mm]\integral \bruch{ln(x)*f'(x)-f(x)*\bruch{1}{x}}{ln²(x)}\;dx=\integral \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
[mm] $\bruch{f(x)}{ln(x)}=ln(x)+C$
[/mm]
$f(x) = [mm] ln^2(x)+C*ln(x)$
[/mm]
Überprüfe das Ergebnis am besten durch Ableiten und Einsetzen in die DGL.
LG, Martinius
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