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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 03.07.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | | Für welche Werte von $c [mm] \in \IR [/mm] $ enthält die allgemeine Lösung der DGL [mm] 4y''+cy'+y=e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] keine Schwingungsanteile? |
Ich habe mal wieder eine DGL Frage :)
Bei dieser Aufgabe weiß ich schon nicht genau was und wo die Schwingungsanteile sind. Ich habe mir dann gedacht das sicher der Fall gemeint ist in dem die partikuläre Lösung Teil der homogenen Lösung ist. Also der Resonanzfall, oder ist das falsch?
Ich würde dann so vorgehen, dass ich erst 3 Fälle unterscheide in denen festgelegt wird wie groß $c$ sein darf.
Dann bekomme ich einmal reelle Nullstellen, einmal komplexe Nullstellen und einmal eine doppelte Nullstelle, also 3 homogene Lösungen.
[mm] 4\lambda^{2}+c\lambda+1=0
[/mm]
1.Fall: [mm] (\bruch{c}{2})^{2}-1>1 [/mm] => c>2
[mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{c}{2}\pm \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1}=>\lambda_{1}=-\bruch{c}{2}+ \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-\bruch{c}{2}- \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1}
[/mm]
[mm] y_{h}=C_{1}*e^{(-\bruch{c}{2}+ \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1})x}+C_{2}*e^{(-\bruch{c}{2}- \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1})x} [/mm]
2. Fall: [mm] (\bruch{c}{2})^{2}-1<1 [/mm] => c<2
[mm] y_{h}=C_{1}*e^{-\bruch{c}{2}x}*cos([(\bruch{c}{2})^{2}-1]*x)+C_{2}*e^{-\bruch{c}{2}x}*sin([(\bruch{c}{2})^{2}-1]*x) [/mm]
3. Fall: [mm] (\bruch{c}{2})^{2}-1=0 [/mm] => c=2
[mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{2}{2}\pm \wurzel{(\bruch{2}{2})^{2}-1}=>\lambda_{1}=-1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
[mm] y_{h}=C_{1}*e^{-x}+C_{2}*e^{-x} [/mm]
Jetzt bräuchte ich den Ansatz für die partikuläre Lösung für den ich aber leider keine Idee habe. Dann würde ich vergleichen welche der homogenen Lösungen in der partikulären Lösung enthalten ist und danach das $c$ definieren. Ist dieser Weg überhaupt richtig, oder zu kompliziert oder sonstwie komisch :) ?
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Hallo steem,
> Für welche Werte von [mm]c \in \IR[/mm] enthält die allgemeine
> Lösung der DGL [mm]4y''+cy'+y=e^{-\bruch{x}{2}}[/mm] keine
> Schwingungsanteile?
> Ich habe mal wieder eine DGL Frage :)
> Bei dieser Aufgabe weiß ich schon nicht genau was und wo
> die Schwingungsanteile sind. Ich habe mir dann gedacht das
> sicher der Fall gemeint ist in dem die partikuläre Lösung
> Teil der homogenen Lösung ist. Also der Resonanzfall, oder
> ist das falsch?
>
> Ich würde dann so vorgehen, dass ich erst 3 Fälle
> unterscheide in denen festgelegt wird wie groß [mm]c[/mm] sein
> darf.
> Dann bekomme ich einmal reelle Nullstellen, einmal komplexe
> Nullstellen und einmal eine doppelte Nullstelle, also 3
> homogene Lösungen.
>
> [mm]4\lambda^{2}+c\lambda+1=0[/mm]
>
> 1.Fall: [mm](\bruch{c}{2})^{2}-1>1[/mm] => c>2
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{c}{2}\pm \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1}=>\lambda_{1}=-\bruch{c}{2}+ \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1}[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}=-\bruch{c}{2}- \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1}[/mm]
>
> [mm]y_{h}=C_{1}*e^{(-\bruch{c}{2}+ \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1})x}+C_{2}*e^{(-\bruch{c}{2}- \wurzel{(\bruch{c}{2})^{2}-1})x}[/mm]
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> 2. Fall: [mm](\bruch{c}{2})^{2}-1<1[/mm] => c<2
>
> [mm]y_{h}=C_{1}*e^{-\bruch{c}{2}x}*cos([(\bruch{c}{2})^{2}-1]*x)+C_{2}*e^{-\bruch{c}{2}x}*sin([(\bruch{c}{2})^{2}-1]*x)[/mm]
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> 3. Fall: [mm](\bruch{c}{2})^{2}-1=0[/mm] => c=2
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> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{2}{2}\pm \wurzel{(\bruch{2}{2})^{2}-1}=>\lambda_{1}=-1[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
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> [mm]y_{h}=C_{1}*e^{-x}+C_{2}*e^{-x}[/mm]
>
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> Jetzt bräuchte ich den Ansatz für die partikuläre
> Lösung für den ich aber leider keine Idee habe. Dann
> würde ich vergleichen welche der homogenen Lösungen in
> der partikulären Lösung enthalten ist und danach das [mm]c[/mm]
> definieren. Ist dieser Weg überhaupt richtig, oder zu
> kompliziert oder sonstwie komisch :) ?
Die Lösungen der Gleichung
[mm]4\lambda^{2}+c\lambda+1=0[/mm]
stimmen nicht.
Schwingungsanteile können nur auftreten, wenn die Lösungen [mm]\lambda_{1,2}[/mm]
einen von Null verschiedenen imaginären Anteil besitzen.
Gruss
MathePower
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